Würfelwahrscheinlichkeit (u. Bionomialverteilung)

Wissenschaft Physik
1

Frage:
Wieviele Würfel (bzw. wieviele Würfe mit einem Würfel) benötige ich um wahrscheinlich genau eine Sechs zu würfeln?
(Die Aufgabe klingt sehr einfach ist es aber wohl doch nicht:wink:

Nach Gefühl hätte ich gesagt, zwischen 3 und 9 Würfe(l)n. Mathematisch entspräche dies einem Erwartungswert zwischen 0,5 und 1,5.
Unter einem Erwartungswert von 0,5 sollte doch das Ereignis „keine Sechs“ und über 1,5 das Ereignis „zwei Sechsen“ wahrscheinlicher sein, oder nicht?

Mit der Binomialverteilung komme ich allerdings zu einem anderen Ergebnis:
Zwischen 6 und 10 Würfe(l)n (vgl. Tabelle)

Was ich nicht verstehe:

  • Wenn ich 5 mal würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs 40,2% und damit genauso groß wie für keine Sechs, obwohl der Erwartungswert für eine Sechs bei fünfmal Würfeln doch bei 0,83 liegen sollte…

Laut Tabelle (1.) macht es noch nicht einmal einen Unterschied ob ich 5 mal oder 6 mal würfle, die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bleibt die gleiche (40,2%).
Wie kann das sein? Oder ist die Tabelle falsch?
Sollte sich das Maximum des Erwartungswertes für eine Sechs bei sechs Würfen nicht auch in einem Maximum bei den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten widerspiegeln?

Dumonde

____________
Liste der Wahrscheinlichkeiten auf der Basis des SATZES DER WIEDERHOLTEN VERSUCHE:
P = (N über k) * (1/6)^k * (5/6)^(N-k) mit k=‚Anzahl der Sechsen‘
berechnet in EXCEL mit: „=BINOMVERT( x; N; 1/6; FALSCH)“

0. Wahrscheinlichkeit keine Sechs zu würfeln bei…
N=0: P=100%
N=1: P=83%
N=2: P=69%
N=3: P=58%
N=4: P=48%
N=5: P=40% (!)
N=6: P=33%
N=7: P=28%
N=8: P=23%
N=9: P=19%
N=10: P=16%
N=11: P=13%
N=12: P=11%

1. Wahrscheinlichkeit genau 1 Sechs zu würfeln bei…
N=0: -
N=1: P=17%
N=2: P=28%
N=3: P=35%
N=4: P=39%
N=5: P=40% (!)
N=6: P=40% (!)
N=7: P=39%
N=8: P=37%
N=9: P=35%
N=10: P=32%
N=11: P=30%
N=12: P=27%

2. Wahrscheinlichkeit genau 2 Sechsen zu würfeln bei…
N=0: -
N=1: -
N=2: P=3%
N=3: P=7%
N=4: P=12%
N=5: P=16%
N=6: P=20%
N=7: P=23%
N=8: P=26%
N=9: P=28%
N=10: P=29%
N=11: P=30%
N=12: P=30%

2

hi,

Wieviele Würfel (bzw. wieviele Würfe mit einem Würfel)
benötige ich um wahrscheinlich genau eine Sechs zu würfeln?
(Die Aufgabe klingt sehr einfach ist es aber wohl doch nicht:wink:

die aufgabe ist unklar formuliert. so nicht beantwortbar.
gegenfrage: mit welcher wahrscheinlichkeit? falls du die wahrscheinlichkeit 1/6 vorgibst, reicht ein würfel (ein wurf); falls du sicherheit meinst (wahrscheinlichkeit = 1), brauchst du unendlich viele würfe.
oder meinst du bloß eine wsk >= 0,5 ???

falls es um wsk = 0,5 geht und um die anzahl der würfe bis zu einer 6 geht:
wsk, keine 6 zu werfen, ist 5/6.
wsk, zweimal hintereinander keine 6 zu werfen, ist (5/6)^2
wsk, n-mal hintereinander keine 6 zu werfen, ist (5/6)^n.

gesucht also: (5/6)^n = 3,8017…

also: mit 3 würfen bist du mit der wsk, (mindestens) eine 6 zu werfen, noch unter 0,5; mit 4 würfen bist du drüber.

hth
m.

3

N’Abend.

Von dem was Michael schreibt mal abgesehen kann man einen Würfel nicht zwingen eine ‚6‘ anzuzeigen. Theoretisch kann man also unendlich würfeln…
Aber trotzdem: bei n Würfen wird sich die relative Häufigkeit für ‚6‘ bei etwa 1/6 der Würfen einpendeln.

HTH
mfg M.L.

4

Hallo,
bin zwar lange kein Statistiker mehr, aber zumindest
dieser Effekt scheint mir doch leicht erklärbar.

Die Wahrscheinlichkeit, genau eine 6 zu würfeln
steigt zunächst an und muß irgendwo wieder absinken,
genau da wo es wahrscheinlicher wird, daß mehr als
eine 6 zustande kommt. Das Maximum dieser Funktion liegt
eben zwischen 5 und 6.
Gruß Uwi

1. Wahrscheinlichkeit genau 1 Sechs zu würfeln bei…
N=0: -
N=1: P=17%
N=2: P=28%
N=3: P=35%
N=4: P=39%
N=5: P=40% (!)
N=6: P=40% (!)
N=7: P=39%
N=8: P=37%
N=9: P=35%
N=10: P=32%
N=11: P=30%
N=12: P=27%

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Ergänzung

Frage:
Wieviele Würfel (bzw. wieviele Würfe mit einem Würfel)
benötige ich um wahrscheinlich genau eine Sechs zu würfeln?
(Die Aufgabe klingt sehr einfach ist es aber wohl doch nicht:wink:

Nach Gefühl hätte ich gesagt, zwischen 3 und 9 Würfe(l)n.

Hallo,

Was ich nicht verstehe:

  • Wenn ich 5 mal würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit für
    eine Sechs 40,2% und damit genauso groß wie für keine Sechs,
    obwohl der Erwartungswert für eine Sechs bei fünfmal Würfeln
    doch bei 0,83 liegen sollte…

Unterscheide zwischen genau 1 mal eine 6 würfeln und
mindestens 1 mal 6 würfeln.
Da ist ein Unterschied!
Gruß Uwi

6

Hallo!

Die Tabelle scheint richtig zu sein, das Ergebnis ist eben nicht eindeutig. Sowohl für 5 bzw. 6 Würfe erhält man als Wahrscheinlichkeit jeweils 40,187… % für das Ereignis: „Genau eine 6“. Unterscheiden tun sich beide Ereignisse aber dennoch voneinander, da die Wahrscheinlichkeit für „Mehr als eine 6“ steigt, während die Wahrscheinlichkeit für „keine 6“ immer weiter abnimmt.

Dieses Ergebnis ist leicht nachzuvollziehen, wenn man sich am Münzwurf orientiert. Auch hier gibt es keinen Unterschied zwischen 1 bzw. 2 Würfen, wenn man das Ereignis „1x Kopf“ betrachtet. Bei einem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Kopf zu werfen, 50%. Bei 2 Würfen bleibt diese Wahrscheinlichkeit, allerdings setzt sie sich aus mehreren Ereignissen zusammen. So ist es eben mit dem Würfel auch.

Das bei den Würfeln beidesmal das gleiche Ergebnis herauskommt, ist rechnerisch nachzuvollziehen (durch die Formel von LaPlace (n über k) * (p**k) * (1-p)**(n-k)), da bei dem Wurf mit 6 Würfeln die Anzahl der Möglichkeiten, eine Sechs in 6 Würfen zu würfeln (also „6über1“) mit der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln (also 1/6 (hoch 1)) rechnerisch eleminiert (=1), es bleibt die Wahrscheinlichkeit für 5 Ereignisse mit „keiner 6“, also 5/6 hoch 5 (5/6**5).

Bei 5 Würfen haben wir auch eine Gegenwahrscheinlichkeit für das Ergebnis „keine 6“ von 5/6, diesmal hoch 4 (5-1). Die Anzahl der Kombinationen für das Ereignis genau eine 6 beträgt diesmal „5über1“, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 „1/6**1“, zusammen 5/6, multipliziert mit dem Rest bleiben wieder 5/6**5.

Der Erwartungswert den Du berechnet hast beruht sehr wahrscheinlich auf der Annahme, dass ein Ergebnis von 1-5 mit 0 und nur die Sechs mit 1 codiert wird. Für einen Wurf ist der Erwartungswert dann 1/6, für 5 Würfe 5*1/6=0.8333, für 6 Würfe genau 1. Wenn Du dieses als Anhaltspunkt für die Wahrscheinlichkeit benutzen möchtest, so ist zu beachten, dass die Varianz als Aussagekräftiges Mittel zu berücksichtigen ist! Das der Erwartungswert für beide Vorraussetzungen (5 bzw. 6 Würfe) nahe bei 1 liegt, ist ja gewollt (wir erwarten bei diesem Verhalten ein Ergebnis von genau einer 6, also X=1). Das Ergebnis für E[X] für 7 Würfe liegt genauso weit von 1 entfernt (1.166…), jedoch bei größerer Varianz. Nicht zu vergessen ist, dass der Erwartungswert ein künstliches Mittel ist und wir hier eine diskrete Verteilung vorliegen haben. Ein Ergebnis von 0.833 gibt es ja eigentlich nicht.

Lieben Gruß
Patrick