Wurf (encore une fois)

Wissenschaft Physik
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Hi Leute!

Erst einmal danke für eure Antworten (besonders an Vir2allender der so spät Abends noch an dem Problem tüftelt)!!

Also noch ein Paar Dinge sind zu ergänzen. Wodurch ihr euch entweder bestätigt fühlt oder auch nicht.

  1. Der Winkel ist niemals 45 Grad. Ich besitze ein Diagramm in dem grob die Wurfweiten in Abhängigkeit vom Winkel angegeben sind. Weil die Skalierung der Achsen eher mangelhaft ist, kann man nur vermuten wo der max. Winkel sich befindet. Ich würde nach Augenmass sagen irgendwo von Ende 30 bis 43 Grad. Wie gesagt nur Augenmass!!! Also hören sich die 41,35 Grad gut an.
  2. Ich habe mir am Anfang gedacht die Parameterdarstellung der Wurffunktion zu verwenden.
    Es gilt: x(t)= v*cos(alpha)*t. Dann Fkt. ableiten und Gleichung gleich Null setzen. Kann man vergessen weil:
    X`(t) = vx(t)= vx= v*cos(alpha)
  3. Oder kann man die Gl. Der Wurfparabel in kartesischen Koordinaten verwenden??
    Y(x)= tan(alpha)*x – g/2 * x^2/v^2*cos^2(alpha)
  4. Vir2allender wie hast Du deine Gleichung erhalten womit Du die 41,35 Grad berechnet hast ermittelt?
    Danke im Voraus für euere Antworten!!

Mit freundlichen Grüßen
Jan

2

Y(x)= tan(alpha)*x – g/2 * x^2/v^2*cos^2(alpha)

ja, so würd ich anfangen… allerdings fehlt hier noch der Term +h, weil Y(0)=h ist!

naja und dann y(x)=0 setzen und nach x auflösen… das ist dann die Wurfweite! Ab hier gibts dann 2 Wege:

die mathematisch exakte:
x(aplha) ableiten, Null setzen, nach alpha auflösen

die praktische:
einfach in x(alpha) verschiedene Werte für alpha einsetzen und sich an das Maximum herantasten… ist auf jeden Fall einfacher

MfG
Oliver

3

Also, ich komme auf einen optimalen Wurfwinkel von 41,3417 Grad. Der optimale Wurfwinkel beträgt nur dann 45 Grad, wenn die Starthöhe gleich Null ist ! Wenn von einem erhöhten Punkt aus abgeworfen wird, dann wird der Winkel kleiner. Das kann man sich auch anschaulich klarmachen: Der Wurfgeschw.-Vektor teilt sich ja in eine senkrechte und eine waagrechte Komponente auf. Wenn der Werfer erhöht steht, dann lohnt es sich, mehr in die waagrechte Komponente zu investieren (flacher zu werfen), weil der Stein dann von Haus aus schon länger in der Luft ist, und der Zeitgewinn durch Auf-und wieder Absteigen es alleine nicht ausmacht. Die Lösung erhält man, in dem man rechnet Wurfhöhe h(t)=h0+sin(a)*v0*t-0.5*g*t^2 (ho Anfangshöhe, a Winkel, g 9.81 ms^-2), dann nach t auflöst, und dieses in die Wurfweite s(t)=cos(a)*v0*t einsetzt. Das dann nach a ableiten und Null setzen, wobei im Fall h0 ungleich 0 eine mords Formel (Bruch, Wurzel, sinusse und cosinusse) rauskommt, die ich numerisch gelöst habe.

Gruß, Moriarty

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Hallo,

ich bin das Problem folgendermassen angegangen.

Da ja die Bewegungen der Kugel in x- und y-Richtungen unabhaengig sind, kann man die Flughoehe y(t) sofort aufstellen:

y(t) = h + Vy*t - 1/2*g*t²

Vx,Vy = Fluggeschwindigkeiten in x-, y-Richtung
g = 9,81 m/sec²
h = 1,80 m

Das erfuellt mit Sicherheit die Anfangsbedingungen:

y(t=0) = h
dy(t=0)/dt = Vy

Wenn T=gesamte Flugdauer bedeutet, dann gilt wohl:

y(T) = 0 -> T = 1/g [Vy + sqrt(Vy² + 2gh)]

Und fuer die maximale Flugweite gilt:

Xmax = Vx*T

Vx = V*cos(a)
Vy = V*sin(a)

Also gilt fuer Xmax:

Xmax = 1/g V² cos(a) [sin(a) + sqrt(sin²(a) + 2gh/V²)]
Xmax = 1/(2g) V² [sin(2a) + sqrt(sin²(2a) + 8gh/V² cos²(a))]

Xmax = X(h,V,a)

Man braucht also nur noch dXmax/da = 0 durchrechnen.
Ich empfehle die Verwendung der zweiten Darstellung, um auch Quotienten/Produkt-Regel zu verzichten.

Hilfreich dabei ist die Verwendung von:

sin(2a) = cos²(a) - sin²(a)

und wenn man den cos(a) auf den cos(2a) bringt:

cos²(a) = 1/2 [1 + cos(2a)]

Man kommt dann auf:

K = [cos(2a) + cos²(2a)]/sin²(2a) mit K = gh/V²

cos(2a) = W
sin²(2a) = 1 - W²

K = [W + W²]/[1-W²]

Das laesst sich dann ueber binomische Formel und Ruecksubstitution auf das Endergebnis bringen:

cos(2a) = K/(1+K)

Interessant ist weniger, dass der Winkel von der Hoehe h abhaengt als vielmehr, dass der optimale Winkel auch von der Abstossgeschwindigkeit V abhaengt. Je starker man abstoesst, desto steiler muss man werfen. Der Grund ist in dem Term 1/2gt² zu finden, der die Kugel immer gnadenlos gen Boden drueckt.

h -> 0, => a -> 45°
h -> unendlich, => a -> 0°
V -> 0, => a -> 0°
V -> unendlich, => a -> 45°

BYE