Hallo
Weiß jemand wie man Wunzeln auf dem Papier ausrechnet?
Gertfried
Hallöchen,
ich habs mal vor langer langer Zeit lernen müssen und mich mal im Netz informiert - schau unter http://www.mathematik-online.de/F76.htm#Wurzeln - ich habs zwar nicht verstanden, aber vielleicht kannst du damit was anfangen…
mfg,
-Christian
meines wissens hat man das vor der taschenrechnerzeit (wie macht der es eigentlich?) so gemacht:
wurzel vereinfacht (ist das teilweises radizieren?)
sqrt(12)=sqrt(3*4)=sqrt(3)*sqrt(4)=sqrt(3)*2
solange, bis man einen einigermaßen übersichtlichen Radikanden hat.
entweder hat man den schon mal bestimmt, dann ist es leicht, man muß nur in der Tabelle nachschauen, wenn nicht gehts weiter mit der Intervallmethode (heißt das so?), die wird auch verwendet, wenn man nicht teilweise radizieren kann z.B. bei sqrt(13):
man sucht sich ergebnisse vor unter nach dem Radikanden, man rechnet praktisch rückwärts. MAn sucht sich ein Zahl, quadriert sie und schaut, ob der ursprüngliche Radikand im gewählten Intervall liegt, dann schränkt man das Intervall ein, bis man ein genügend genaues Ergebnis hat, d.h.im Fall von sqrt(13):
3²=9 … 4²=16 >> 13 liegt im Intervall, Intervall einschränken
3,3²=10,89 … 3,7²=13,69 >> 13 liegt im Intervall …
3,5²=12,25 … 3,6²=12,96 >> 13 liegt außerhalb, Intervallgrenzen ersetzen
3,6²=12,96 … 3,7²=13,69
3,6²=12,96 … 3,65²=13,325 >> da 3,6² wesentlich näher an 13 liegt als 3,7² wird nur die obere Grenze verändert
.
.
.
3,605²=12,996025 … 3,606²=13,003236
man macht so lange weiter, bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.
Man darf nicht vergessen, daß das was der Taschenrechner anzeigt auch nicht das genaue Ergebniss ist. Es ist auch nur auf z.B. 10 Stellen (Anzeige) und z.B. 12 Stellen (intern) genau.
Viel Spaß beim intervallen 
Gerhard
Hallo allerseits,
wie waere es mit Kettenbruechen…?
Das ist schnell und billig und was das wichtigste ist, leicht zu verstehen. Ein Beispiel:
Ich will die Wurzel aus 5 ausrechnen.
Ich weiss, dass 2² = 4 ist.
Ich weiss, dass 3² = 9 ist.
Also wird folgendes wohl noch stimmen:
-> (2 + r)² = 5
-> 4 + 4r + r² = 5
-> (4 + r)r = 1
=> r = 1/(4+r)
Oder etwa nicht ?
Wenn das da oben aber stimmt, dann stimmt ja wohl locker vom Hocker auch dieses hier:
(I) r = 1/(4+(1/(4+r)))
Oder dies hier:
(II) r = 1/(4+(1/(4+(1/(4+r)))))
Wenn man z.B. r = 0 als Naherung in (I) einsetzt (auf der rechten Seite natuerlich) und dann in (2 + r)² einsetzt, dann erhalet man schon 4,996. Ist doch verdammt nochmal super oder etwas nicht!!! MAN BEDENKE FUER r=0 IN GLEICHUNG (I) !!!
CU
Wurzelziehen mit Stift und Papier
Ich hab nach ein bisschen Nachdenken drei Möglichkeiten gefunden, eine Wurzel mit Stift und Papier zu berechnen:
- Intervall-Schachtelung: Wurzel(a) = x = Wurzel (x·x) = Wurzel(v·w) . Nimm einen ersten groben Schatzwert fur x, nennen wir ihn v, aus dem Kopf. Dann ist w=a/v. Wenn v kleiner als der wahre Wert x ist, dann ist w größer als x, oder umgekehrt, jedenfalls liegt x immer zwischen v und w. Also nehmen wir als zweiten Schatzwert fur x, nennen wir ihn v(besser), den Mittelwert zwischen v und w: v(besser)=(v+w)/2 => w(besser)=a/v(besser). v(besser) und w(besser) sind jetzt schon naher dran. Alles noch mal in Worten: 1): Schatze die Wurzel. 2): Dividiere den Wert, dessen Wurzel man sucht, durch die geschatze Wurzel. 3) Das Ergebnis davon addierst Du zum Schatzwert und teilst es durch Zwei. Dies ist der neue Schatzwert. Gehe zu 2). Es geht jetzt so lange so weiter, bis eine zufriedenstellende Genauigkeit erreicht ist.
- Newton Iterationsverfahren. Gesucht x=Wurzel(a)=> x·x.=a. Suche Die Nullstelle der Kurve y=x·x-a. Die Steigung der Kurve ist 2x. Nimm einen ersten Schatzwert x Dann ist ein besserer Schatzwert x(besser)=x-(x·x-a)/2x , und so weiter. Das geht auch fur Kubikwurzeln, x(besser)=x-(x^3-a)/(3x^2).
- Berechnung der Potenzreihe. Wurzel(a) = a^(1/2), in Worten a hoch einhalb. a^b= exp(b·ln(a)), in Worten a hoch b ist die Exponentialfunktion von (b mal dem nat. Logarithmus von a). Die Exponentialfunktion exp(x) oder e^x kann man durch eine Reihe berechnen: e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + … + x^n/n! . n!, sprich n Fakultat, n! = ist 1·2·3·…·n . Demnach ist Wurzel(a) = 1+ 1 / 2· ln (a)+ 1 / 8 · ln(a)^2 + 1/48 ·ln (a)^3 + … usw , aber das hat den Nachteil, das man jetzt den Logarithmus braucht. Darum brauchten die Leute fruher auch sogenannte Logarithmentafeln, also tabellierte Werte fur Logarithmen, die einer mal ausgerechnet hatte.
Fazit: Wie schon, das es jetzt Computer gibt.
Gruß Moriarty
Hallo allerseits,
wie waere es mit Kettenbruechen…?
Das ist schnell und billig
Und funktioniert genau bei Gleichungen vom Grad 2 in der beschriebenen Art. Die Erweiterung davon nennt sich allgemein Uspensky-Verfahren (ungerechter Name) und wurde erstmals von einem Herrn Vincent 1836 beschrieben.
Ciao Lutz
PS: Eine Implementation mit gmp findet sich unter
http://www.loria.fr/~zimmerma/free/usp.c
1 „Gefällt mir“
a = Deine Zahl
x = ergebnisx=a
x=(x+a/x)/2
Das kann doch wohl auf keinen Fall stimmen!
Wenn du zuerst x=a setzst, dann ist doch immer a/x=1, also
x=(x+1)/2
Beispiel: x=16
x=(16+1)/2 = 17/2 = 8,5
Die Wurzel aus 16 ist aber 4 und nicht 8,5 !
… das stimmt schon. Nur sollte noch dazu gesagt werden, dass man die Formel iterativ anwenden muss („Fixpunktproblem“), d.h. Ergebnis wieder als x einsetzen usw.
Dann erhält man nacheinander:
16, 8.5, 5.19, 4.14, 4.002, 4.0000006 …
Schneller geht es, wenn man schon mal grob schätzt was rauskommt, also z.B. gleich mit 5 anfängt :
5.0, 4.1 ,4.001,4.0000002 …
Gruss Kurt
Irgendwie gingen die Umlaute nicht : Es heißt SchÄtzwert
Gruß Mo
Hallo
Weiß jemand wie man Wunzeln auf dem Papier ausrechnet?
Gertfried
Ich hab da vor zig Jahren mal’ne Methode kennengelernt, die sehr an die schriftliche Division erinnert. Man kann damit Wurzeln mit nur Bleistift, Papier und entsprechen Geduld beliebig genau lösen; das Ergebnis wird Stelle für Stelle berechnet. Beispiel: Die Quadratwurzel von 5
X² = 5.00 00 00 00 X = 2.23606…
-4 [=X1*X1, X1=2]
1.00
-.84 [=X2*(20*X1+X2), X2=2]
16 00
-13 29 [=X3*(20*X12+X3), X3=3]
2 71 00
-2 67 96 [=X4*(20*X123+X4), X4=6]
3 04 00
-0 [=X5*(20*X1234+X5), X5=0]
3 04 00 00
-2 68 32 36 [=X6*(20*X12345+X6), X6=6]
und so weiter …
[Xi=Ergebnisstelle i, Xijk=Ergebnisstellen ijk]
Das Quadrat wird wie der Dividend bei der Division behandelt.
Der Divisor ist hier (Quadrat!) gleich dem Quotienten.
Zu Beginn ‚schätzt‘ man die Wurzel des vordersten Ziffernpaares
(Bei ungerader Stellenzahl nur die vorderste Ziffer) des Dividenden. Dies ist auch schon die erste Ergebnisstelle.
Dessen Quadrat subtrahiert man dann von Dividenden.
(-a-)
Für den nächsten Rechenschritt nimmt man das nächste Ziffernpaar
vom Quadrat zum Rest hinzu. (Bei der Division war das nur eine Stelle) Jetzt sucht man den größtmöglichen Wert, der, mit 20 mal dem bisherigen Ergebnis plus sich selbst multipliziert vom alten Rest abgezogen noch einen positiven, neuen Rest bildet.
Dieses wäre die nächste Ziffer des Ergebnisses. Mit diesem neuen
Rest geht’s weiter bei (-a-).
Das wird wiederholt, bis genug Stellen berechnet sind.
Später auf der FOS hatte ich verstanden, das dieses eine trichreiche Anwendung der binomischen Formel ist:
(a+b)²=a"+b"+2ab, wobei a das bisherige Ergebnis ist und b die nächste zu Berechnende Ziffer.
So kann man im Prinzip jede Wurzel n-ten Grades lösen, man muß nur die binomische Gleichung n-ten Grades strikt anwenden.
(Ich hab’s mal mit einer 3ten Wurzel Versucht, mein Konzentrationsvermögen hat mich dabei aber im Stich gelassen.
Seit mir bitte nicht böse, sollte sich noch ein Struddelfehler oben verstecken, ich hab das von 15 Jahren das letzte mal gemacht und leider keine Aufzeichnungen darüber. Sorry auch, wenn die Formatierung der Beispielrechnung verloren ging. Wen’s genauer interressiert, der kanns von mir als Textfile per email bekommen.
Viel Spaß beim Ausprobieren - Egon
Danke, danke, danke, … O.T.
…
Und wie in z.B. Assembler ?
Hallo,
das hat mich mal im Zusammenhang mit Assemblerprogrammierung interessiert.
Gibts da irgendwie ein kommentiertes Codefragment ??
Danke,
Mirko