Wurzel2 + Wurzel3 irrational, Beweis

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

wie kann ich beweisen, das WURZEL(2)+WURZEL(3) eine irrationale Zahl ist?

Ich dachte an Euklid und den Gegenbeweis, also:

 WURZEL(2) + WURZEL(3) = a/b |( )² [a und b teilerfremd]
 2 + 2\*WURZEL(6) + 3 = a²/b²

Da a²/b² rational ist und 3+2=5 ebenfalls, muss WURZEL(6) ebenfalls
rational sein (richtige Schlussfolgerung?). Also:

 WURZEL(6) = p/q [wieder teilefremd]
 6q²=p² 

Doch jetzt weiß ich nicht weiter... klar ist, dass p² und p nung
erade sind, aber wie weise ich nach, dass auch q² gerade ist??
Wenn ich zB p=2r (r € N) setze, erhalte ich:

6q²=4r² q²=4/6r², aber 4/6 ist leider nicht gerade...

Gibt’s einen anderen Weg?

Vielen Dank schonmal!

#2

Hi,

das kannst du nach dem gleichen System machen, wie in Aufgabe 11.2.73 beschrieben ist.

Nur, dass du beweist, dass wurzel(6) irrational ist.

Grüße

powerblue

#3

Hallo,

Hi,

dein Beweis war schon fast fertig.

6q²=4r² q²=4/6r²

Soweit warst du ja schon. Jetzt kannst du durch 2 teilen, dann hast du
3q2=2r2.
Damit ist 3q2 gerade, weshalb auch q2 und damit auch q gerade sein müssen. Und fertig ist der Widerspruch.

Gruß

hendrik

#4

Vielen Dank, die Möglichkeit hab ich einfach nicht gesehen^^