Hallo,
an mich wurde neulich eine Aufgabe herangetragen, bei der ich wahrscheinlich ein Brett vor dem Kopf habe.
Aufgabe: Ab welcher Zahl ist der Abstand der Wurzel n zur Wurzel n+1 kleinergleich als 1. n Element N.
also: abs(sqrt(n+1)-sqrt(n))
Und man sieht, dass ab n>= 25 die Bedingung erfüllt wird. Man sieht auch, dass der Wert von $ergebnis immer kleiner wird und gegen 0 approximiert.
Wie würdet ihr bei einem Beweis vorgehen? Es wäre doch etwas unschön, zu schreiben, dass man mit durchprobiern auf 25 gestoßen ist, da der Wert von $ergebnis monoton fallend und gegen null approximierend, es auch keine weiteren Ergebisse vor n=25 gibt.
TIA,
Knut
Hi.
Erst ab n=25? Was ist denn mit n=1? abs(sqrt(2)-sqrt(1)) = 1,4… - 1 = 0,4…
Hallo Knut
OK mal gucken:
sqrt(n+1) - sqrt(n) n, folgt dass der Ausdruck links immer groesser null ist.
Das heisst, das Betragszeichen kann schon mal vernachlaessigt werden. Dann kann man beide Seiten quadrieren ohne die Ungleichung zu verletzen(Frag mich nicht nach dem formalen Beweis hierfuer:wink:)
=> (sqrt(n+1) - sqrt(n))^2 (n+1) - 2* sqrt((n+1)*n) + n [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Katharina,
Dann kann man beide Seiten quadrieren ohne die
Ungleichung zu verletzen(Frag mich nicht nach dem formalen
Beweis hierfuer
Ja, das hab ich mir auch schon überlegt doch ist sqrt(n) = n^(1/2), also nix mit 3. bonomischer Satz, oder? So wie es mir scheint hast du die Formel für (a-b)^2 herangezogen oder?
Mir ist zu allem Übel auch noch ein Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen, das ganze soll kleinergleich 0.1 (und nicht 1.0) sein.
Viele Grüße,
Knut
Hi.
Wie wäre es dann so:
abs(sqrt(n+1)-sqrt(n)) sqrt(n+1) 0.99 99/20 9801/400 = 24.50…
n => 25
CU,
Sebastian.
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