Wurzelrechnung und binomische Formeln!

Wissenschaft Physik
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Hallo, ich hab ein Problem mit zwei Aufgaben, krieg einfach nicht die Lösungen. Ich glaub ich hab ein Denkfehler, find ihn aber einfach nicht:

  1. wurzelaus(x+1) - 2*wurzelaus(25-3x) + wurzelaus(12x) = 0

x soll ausgerechnet werden. wenn ihr ein Idee habt, wäre schön.hab leider kein Wurzelzeichen.also alles was hinter „wurzelaus“ steht, ist unter der Wurzel.

und 2.

Die Punkte A(0/0) und B(0/6) sind die
Eckpunkte des Durchmessers eines Halbkreises, dessen Kreislinie vollständig in 1. Quadranten verläuft.
Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes dieser Halbkreisfläche.

Also mit der Aufgabe bin ich total überfordert. Ich weiß nicht, über welchen Ansatz ich da ran gehen soll. Wollen die das jetzt geometrisch oder mit Analysis gelöst haben?

Im voraus schon mal Danke.Ihr würdet mir damit sehr helfen.
Mein Kopf hat schon Aufgegeben.

Cu, Anja.

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Hallo Anja,

wurzelaus(x+1) - 2*wurzelaus(25-3x) + wurzelaus(12x) = 0

x soll ausgerechnet werden.

Wenn man das x hier wirklich ausrechnen kann, dann wüßte ich gerne wie. Das Problem ist, daß sich Summen (oder Differenzen) von Wurzeln im allgemeinen nicht weiter umformen lassen:
Wurzel(a*b) ist gleich Wurzel(a) * Wurzel(b), aber
Wurzel(a+b) ist „garnichts anderes“.

Meiner Meinung nach kannst Du die richtige Lösung hier nur „raten“. Der Ratevorgang lief bei mir so ab, daß ich mir die linke Seite der Gleichung von einem Funktionenplotter habe zeichnen lassen, und geguckt habe, wo die Funktion die x-Achse schneidet. Dies ist an der Stelle x = 3 der Fall. Probeweises Einsetzen von x = 3 verifiziert die Lösung.

Die Punkte A(0/0) und B(0/6) sind die
Eckpunkte des Durchmessers eines Halbkreises, dessen
Kreislinie vollständig in 1. Quadranten verläuft.
Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes dieser
Halbkreisfläche.
Wollen die das jetzt geometrisch oder mit Analysis gelöst haben?

Der Schwerpunkt läßt sich geometrisch nicht bestimmen – Du mußt also rechnen.

Die Formel für den Flächenschwerpunkt s lautet allgemein:

 1 / /
Vektor(s) = --- | | Vektor(r) dA
 A / /

Die Gebilde nach dem Bruch sollen zwei Integralzeichen darstellen (Oberflächenintegral).

Ich berechne der Einfachheit halber nicht den Schwerpunkt des in der Aufgabe spezifizierten Kreises, sondern den des Einheitshalbkreises. Dabei können wir die x-Koordinate des Schwerpunktes sofort angeben: Aus Symmetriegründen ist sie trivialerweise gleich Null. Bleibt also nur noch die y-Koordinate ys des Schwerpunktes auzurechnen.

Die Fläche A des Einheitshalbkreises beträgt pi/2.

Die Funktionsgleichung für die Randkurve lautet
y(x) = Wurzel(1 – x^2).

Damit haben wir alles zusammen, um mit Hilfe der oben angegebenen Formel das ys auszurechnen:

 1 /1 /Wurzel(1-x^2)
ys = --- | dx | y dy 
 A /x=-1 /y=0 

 1 /1 []Wurzel(1-x^2)
 = --- | dx [1/2 y^2] 
 A /x=-1 []y=0 

 1 /1 
 = --- | dx (1/2 (1 - x^2)) 
 A /x=-1 

 (Zwischenschritte bitte selbst nachvollziehen)

 1 2 
 = ---- --- 
 2A 3 

 1 
 = ---- 
 3A 

 4 
 = ------ (ungefähr gleich 0.4244)
 3 pi

Da der Kreis in Deiner Aufgabe drei mal so groß ist wie der Einheitskreis und sein Mittelpunkt um 3 nach rechts verschoben ist, liegt sein Schwerpunkt bei (3, 4/pi).

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Hallo Martin,

man kann die erste Aufgabe ausrechnen.
Versuche mal einfache Mathematik.
binomische Formeln lautet das Stichwort.

wurzel(x+1) - 2*wurzel(25-3x)+ wurzel(12x)= 0

erste schritt: ein therm auf die andere seite

ich kürz ab: w= wurzel

w(1+x)= 2*w(25-3x) - w(12x) / quadrieren

dabei ist vorgesehn: wurzel mal wurzel heben sich auf

1+x = [2*w(25-3x) - w(12x)]^2

kennst du noch binomische formeln, die muß ich jetzt auf der rechten seite anwenden: (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

das würde heißen:frowning:wurzel und wurzel heben sich auf)
1+x = 4*(25-3x)- 2* [2*W(25-3x) * w(12x)] + 12x

ausmultiplizieren

1+x = 100-12x -[4*w(25-3x) * w(12x)] + 12x

12x kürzt sich weg, und minus 100 auf die andere Seite

x-99 = 4*w(25-3x)*w(12x)

jetzt weiß ich nicht weiter, ich weiß nicht ob jetzt noch mal quadrieren nützt, eigentlich müßte es gehen, da die therme auf der rechten seite alle durch mal verbunden sind. zwar müßte man dann noch mal auf der linken seite eine binomische formel anwenden doch die ist schnell gelöst.

am ende kommt bei mir die form 0 = ax^2+ bx + c
raus, nur wenn ich die in vorgegebene faustformel für die x berechnung eingebe, wird die entweder negativ unter Wurzel oder es kommen keine ganze Dezimalzahelen raus. Und die sin dbei und Standard. Also wenn keine ganzezen Zahlen o. keine gängigen Brüche rauskommen, ist das Ergebnis nicht richtig.

Ich mache Techniker und da ist das Mathe nicht so hoch angesetzt, wie bei euch. Es muß auch bei der zweiten Aufgabe auch ohne Integralrechnung gehen, denn die wird bei uns nicht angewendet.

Ich hab dein Ansatz verstanden, da ich es mal früher in der Schule hatee, aber ich glaube die Lehrer würden ganz schön komisch kucken, wenn ih da mir Integrale auftrete.

Aber danke, wenigstens hab jetzt überhaupt ein Ansatz für die zweite Aufgabe.

Danke schön. Anja

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Hallo Anja,

man kann die erste Aufgabe ausrechnen.

…wovon Du mich überzeugt hast. Puh, ich muß zugeben, daß ich mit meiner Behauptung, es ginge nicht, wohl etwas zu schnell war. Hiermit deklariere ich sie als falsch und nehme sie zurück. Sorry!

x-99 = 4*w(25-3x)*w(12x)

Dieses Zwischenergebnis ist richtig.

jetzt weiß ich nicht weiter, ich weiß nicht ob jetzt noch mal
quadrieren nützt, eigentlich müßte es gehen, da die therme auf
der rechten seite alle durch mal verbunden sind. zwar müßte
man dann noch mal auf der linken seite eine binomische formel
anwenden doch die ist schnell gelöst.

Genau diesen Weg mußt Du gehen (warum hast Du es nicht einfach schon probiert?).

(x - 99)^2 = 16 (25 - 3 x) 12 x

x^2 - 198 x + 9801 = 16 (300 x - 36 x^2)

x^2 - 198 x + 9801 = 4800 x - 576 x^2

577 x^2 - 4998 x + 9801 = 0

x^2 - (4998/577) x + 9801/577 = 0

Das kannst Du nun mit der „pq-Formel“ für quadratische Gleichungen lösen. Und keine Angst, weil die Zahlen so groß und krumm sind: Du erhälst die Wurzel

w(2499^2 - 9801 * 577)

aber die ist ganz harmlos :wink: (nämlich gleich 768).

Du mußt allerdings berücksichtigen, daß Du eventuell zwei Lösungen zu der quadratischen Gleichung erhälst (ich hab das nicht mehr überprüft), von denen eine falsch sein kann, also die Ausgangsgleichung nicht löst! Der Grund dafür ist, daß die Quadrierung keine Äquivalenzumformung darstellt (aus „a = b“ folgt zwar „a^2 = b^2“, aber die umgekehrte Richtung wäre falsch, denn aus „a^2 = b^2“ folgt „a = ±b“). Deshalb mußt Du am Schluß unbedingt mit allen Lösungen noch mal die Probe machen.

Es muß auch bei der zweiten Aufgabe
auch ohne Integralrechnung gehen, denn die wird bei uns nicht
angewendet.

Ohne Integralrechnung? Dazu fällt mir leider überhaupt gar nichts ein. Ich werde mich allerdings hüten, zu behaupten, es wäre nicht möglich :wink:. Ich denke noch mal darüber nach, und wenn ich eine Idee habe, melde ich mich.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Hallo Martin,

erst mal aller herzlichsten Dank an Dich, daß du dir die Mühe gemacht hast,
mit deiner Hilfe hab ich jetzt auch die Lösung für die erste Aufgabe raus.
Und Du hast recht, es gibt nur eine Lösung: x=3
Die Probe stimmt damit.

Bei der zweiten Aufgabe lass ich mich am Sonnabend in der Schule überraschen, kann dir die Lösung ja dann auch noch mal zukommen lassen.

Anja

6

Hallo.

Vorweg : Ich bin kein Mathematiker, sondern abgebrochener Baumschüler. Deshalb ist mein Lösungsansatz zu 2) vermutlich zu naiv. Ich poste ihn hier trotzdem mal :

und 2.

Die Punkte A(0/0) und B(0/6) sind die
Eckpunkte des Durchmessers eines Halbkreises, dessen
Kreislinie vollständig in 1. Quadranten verläuft.
Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes dieser
Halbkreisfläche.

Damit ist der Radius des Halbkreises, ich nenne ihn H, die Hälfte der Strecke AB. Jetzt würde ich gedanklich einen flächengleichen Vollkreis konstruieren, dessen Mittelpunkt auf dem zur x-Achse parallelen Halbmesser des Halbkreises liegt (also irgendwo bei y=3, denn daß auf dieser Geraden der Flächenschwerpunkt liegen muß, dürfte unmittelbar einleuchten).

Der Radius des gedanklichen Kreises sei K. Nun soll der Vollkreis flächengleich dem Halbkreis sein, also H^2*PI/2=K^2*PI. Durch einfaches Umformen erhalte ich K=H/wurzel(2). Und wenn ich nicht ganz daneben liege, müßte der gesuchte Flächenschwerpunkt des Halbkreises die Koordinaten {H-H/w(2)/3} haben.

Wie falsch liege ich? Bitte antwortet mir!
kw

7

Hallo Heinerich?

Danke für den Lösungsvorschlag. Für mich klingt er logisch.
Da ich aber nicht mal weiß, was überhaupt mit Flächenschwerpunkt gemient ist, kann ich dir jetzt aber auch nicht sagen, ob die Lösung richtig ist.
Ich hab ja am Wochenende Schule, und wenn du dich bis dahin gedulen kannst, schreib ich sofort nach der Schule die Lösung dieser Aufgabe auf diese Seite.

Aber vielen Dank, daß du mal auf einfachen Wege Kopf gemacht hast.

Ich meld mich und nehme auch Dein Lösungsvorschlag mit zur Schule.

Bis dann, Anja.

8

Hallo, Anja.

Da ich aber nicht mal weiß, was überhaupt mit
Flächenschwerpunkt gemient ist, kann ich dir jetzt aber auch

Das dürfte doch der Schwerpunkt des geometrischen Gebildes aus Pappe sein, od’r?

Aber vielen Dank, daß du mal auf einfachen Wege Kopf gemacht
hast.

Mir ist noch eine Möglichkeit eingefallen. Hier kommen zwei Sätze in Anwendung. Erstens der Onkel Thales, daß jeder Winkel im Halbkreis ein rechter ist, zweitens, daß der Schwerpunkt des Dreiecks der Schnittpunkt der … ei verflucht, Winkelhalbierenden, glaube ich, ist.

Dann konstruieren wir doch mal ein Dreieck in unseren Halbkreis mit den Eckpunkten A {0,0}, B {0,6} und C {3,3}. Die Winkel alpha und beta sind 45°, halbiert also 22,5°.

Mit dem Arcustangens der beiden Winkel kann ich dann eine Gleichung aufstellen, die den Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden liefert (Vorzeichen beachten!).

Der Schnittpunkt wäre dann der Schwerpunkt des Dreiecks und, wenn ich nicht schon wieder Schrott babbele, auch des Halbkreises …

es sei denn, daß der Schwerpunkt vielleicht doch der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist - na ja, ich wollte ja nur mal laut gedacht haben sollen sein hätte, brabbel …

Gruß kw

9

Hallöchen, hier kommt die Lösung für Aufgabe 2):

Als erstes geht man von einer rotierenden Halbkreisfläche um die y-Achse aus:

(1) V= 4/3*pi*r^3

Dann gibt es die „Guldinschen Regeln“.
Für die Fall die zweite Regel:

Das Volumen eines rotierenden Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Weg des Schwerpunktes der rotierenden Fläche bei eienr Umdrehung um die Drehachse.

(2) V= A*2*pi*r
sa

Nun werden (1) und (2) gleigesetzt:

A*2*pi*r = 4/3*pi*r^3
sa

r = 2*r^3
sa -------
3*A

für Halbkreisfläche A gilt:

(4) A= 1/2*pi*r^2

(4) in (3) r = 2*r^3
sa --------
3*pi*r^2

2

Auflösen des Doppelbruches:

r = 4*r
sa -----
3*pi

für r gleich 3 einsetzen, da die Hälfte von 6 (Durchmesser)

r = 4*3
sa -----
3*pi

r = 4
sa ----
pi

und da gleich r = x = 4
sa —
pi

Der Flächenschwerpunkt befindet sich bei F(4/pi; 3)

Ich hoffe, ihr könnt damit was anfangen. Ich hab davon auch zum ersten Mal gehört. Und hoffentlich habt ihr nicht zu sehr eure Köpfe rauchen lassen.

Bis dann
Anja

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Guldinsche Regel -> Cool!
Hallo Anja,

merci für die Auflösung der Schwerpunkt-Aufgabe. Damit hast Du zur Erweiterung meines mathematischen Horizonts beigetragen, denn von den Guldinschen Regeln habe ich ebenfalls noch nie etwas gehört. Ich finde sie ziemlich aufregend (ich hab gerade den „Bronstein“ – das ist so eine Art Formelsammlung für Profi-Mathematiker – konsultiert, wo sie auch drinstehen), und ärgere mich jetzt ein bißchen, daß ich sie nicht gekannt habe.

Als erstes geht man von einer rotierenden Halbkreisfläche um
die y-Achse aus:

(1) V= 4/3*pi*r^3

Hoppla, das ist aber das Volumen einer Kugel!?

Mit der zweiten Guldinschen Regel ist die Berechnung der Schwerpunktskoordinate tatsächlich ganz easy. Womit sich wieder einmal der Spruch bewahrheitet hat, daß man nie auslernt :smile:.

Danke nochmals für’s Feedback und viele Grüße
Martin