Hallo,
ich grübele nun schon die ganze Zeit daran rum, ob und wie sich f(x) = x^4 als Taylorreihe entwickeln lässt? Habt ihr da eine Vorstellung von wie das gehen könnte?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße,
Jojo
Auch hallo.
ob und wie
sich f(x) = x^4 als Taylorreihe entwickeln lässt?
Mehrfache Ableitungen bilden und den Entwicklungspunkt nennen 
f’(x) = 4x^3, f’’(x)=12x^2, f’’’(x)=24x, usw…
Dann in die Formel für die Taylorreihe einsetzen: http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
HTH
mfg M.L.
… ob und wie sich f(x) = x^4 als Taylorreihe entwickeln lässt?
Hallo,
wo ist das Problem?
f(x) = x4
→ f’(x) = 4 x3
→ f’’(x) = 12 x2
→ f’’’(x) = 24 x
→ f’’’’(x) = 24
→ f’’’’’(x) = 0
und alle noch höheren Ableitungen ebenfalls = 0
Als Entwicklungsstelle x0 nehme ich exemplarisch x0 = 3. Mit den obigen Ableitungen ergibt sich die Taylor-Entwicklung von f(x) = x4 um x0 = 3 zu:
f(x) = 1/0! · 3 4 (x – 3 )0
- 1/1! · 4 · 3 3 (x – 3 )1
- 1/2! · 12 · 3 2 (x – 3 )2
- 1/3! · 24 · 3 (x – 3 )3
- 1/4! · 24 (x – 3 )4
- 1/5! · 0
und alle weiteren Glieder ebenfalls = 0
= 81
- 108 (x – 3)
- 54 (x – 3)2
- 12 (x – 3)3
- (x – 3)4
Fertig!
Die Erste-Ordnung-Entwicklung von f(x) = x4 um x0 = 3 lautet
f(x) ≈ 81 + 108 (x – 3) = … (selber ausmultiplizieren und zusammenfassen)
Die Zweite-Ordnung-Entwicklung lautet
f(x) ≈ 81 + 108 (x – 3) + 54 (x – 3)2 = …
Die Dritte-Ordnung-Entwicklung lautet
f(x) ≈ 81 + 108 (x – 3) + 54 (x – 3)2 + 12 (x – 3)3 = …
Und die Vierte-Ordnung-Entwicklung ist schließlich identisch (!) mit f(x), was so sein muss, weil f ja ein Polynom vom Grad 4 ist:
f(x) = 81 + 108 (x – 3) + 54 (x – 3)2 + 12 (x – 3)3 + (x – 3)4 = … = x4
Gruß
Martin