X hoch x

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Mathematiker,

ich versuche, eine n-te Ableitung der Funktion f(x)=x hoch x
(Tschulliung, die Formelschreibweise hat mein Rechner nicht drauf)

zu finden.

  1. Kann man theoretisch zeigen, dass es eine solche gibt, oder
  2. Kann man sie einfach darstellen?

Dank
Der Waldpoet

#2

Hallo Mathematiker,

ich versuche, eine n-te Ableitung der Funktion f(x)=x hoch x
(Tschulliung, die Formelschreibweise hat mein Rechner nicht
drauf)

zu finden.

  1. Kann man theoretisch zeigen, dass es eine solche gibt, oder

f(x) = x^x
f´(x)= x*x^(x-1)+x^(x*lnx)

  1. Kann man sie einfach darstellen?

**Warum nicht? Machmal ne kleine Wertetabelle
x=0 y=1
x=1 y=1
x=2 y=4 usw oder mit Graphikprogramm

**
Dank
Der Waldpoet

Bitte
Horst

#3

Moin,

vlt. erkenne ich um diese Tageszeit nicht mehr die Gleichheit des Ergebnisses von Horst und meinem, mein Ergebnis lautet:

(ln x +1)*x^x.

Du musst x^x darstellen als e^((ln x)*x), dann die äußere mal innere Abltg. bilden.

Dies ist zwar nur die erste Abltg., aber ein Anfang. FĂĽr eine allgem. Formel fĂĽr die n-te habe ich jetzt keine Lust mehr, sorry.

GruĂź Volker

#4

Hm, Dank zunächst, aber die erste Ableitung ist nicht so sehr mein Problem, auch die zweite, dritte und vierte (obwohl es hier schon unübersichtlich wird).
Mir ging es tatsächlich um eine allgemeine n-te Ableitung.

GruĂź

#5

Du musst x^x darstellen als e^((ln x)*x), dann die äußere mal

Die Erklärung wie man darauf kommt fehlt:
f(x) = x^x
f(x) = e^(ln(x^x)) //e^ln hebt sich gegenseitig auf
f(x) = e^(x*(ln x)) //Logarithmus Gesetz
f(x) = e^((ln x)*x) //bei mal darf man vertauschen.

Abgeleitet ist das dann (Erst nach Kettenregel und dann innen drin Produktregel)
f’(x) = e^((ln x)*x)*((1/x*x)+(ln x * 1))

vereinfachen:

f’(x) = x^x*((1/x*x)+(ln x * 1))
f’(x) = x^x*(1 + (ln x * 1))
f’(x) = x^x*(1 + ln x)
f’(x) = (1 + ln x) * x^x

Wenn man das ganze 3 oder 4 mal macht erkennt man hoffentlich ein System.

#6

Hi

Ich hatte es schon einmal nach so einer solchen allgemienen Vorschrift gesucht um die Funktion in einer Taylorreihe zu entwickeln. Bin dabei aber leider auf nix einfacheres als eine recht komplizierte Rekursionsvorschrift gestossen.

Hab sie jetzt allerding nicht vor mir liegen. Vielleicht könntest du in dieser Richtung weiter suchen.

MfG IGnow

#7

Scheinbar ist das „einfach“ lösbar, guckst Du hier:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d^n%2Fdx^n+x^x

#8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d^n%2Fdx^n+x^x

Hab ich auch erst gedacht, aber das Ergebnis von Wolfram stimmt nicht, wie Du schon in den Fällen n=1 und n=2 erkennen kannst.

Liebe GrĂĽĂźe
Immo