Hallo,
kann mir jemand didaktisch einfach (Schritt für Schritt) erklären, wie ich die Ableitung einer Funktion mithilfe der x- bzw- h-Methode herausfinde?
Vielen Dank!
Hi. Erst nicht geschnallt. Hä, x-Methode oder h irgendwie. Schon an x-Transformation gedacht (was auch immer das sei)
Also es geht offenbar darum, wie man den Differenzenquotient bzw. Differentialquotient einer Ableitung ausdrückt.
Man kann d f(x)/ dx ausdrücken, wie folgt:
1.) = limx1 -> x (f(x)-f(x1)) / (x-x1)
2.) = limh->0 (f(x)-f(x+h)) / h
Das war’s auch schon. Bei beiden kämpft man mit der Grenzwertbildung „0/0“, hehehe
Joachim.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ha, ich nochmal.
Mist, Frage wieder nicht richtig gelesen. Da war ja nach Dida… irgendwas gefragt. Dabei ist mir auch gleich ein kleiner Fehler aufgefallen in dem anderen Antwortposting. dort sollte es konsequenter -h im Nenner heißen. Oder man vertauscht einfach die Summanden bei beiden Versionen.
Also vorweg. Es werden bei der Bildung der ableitung NUR in der Schule Beispiele gerechnet, bei denen das ganze Spiel reibungslos funktioniert. In den Klausuren kommen meist Probleme. Das ist schon seit Generationen so:wink:
Naja, Beispiel klassischer Art: f(x)=X²
Man bildet stur die Differentenquotienten, löst nach irgendeiner binomischen Formel auf und bildet dann nach sinnvollem Kürzen den Grenzübergang, was eigentlich nur darin besteht, daß entweder x1 = x ist, oder alle Summanden mit dem Faktor h wegfallen.
d f(x)/dx = lim x1->x mit 1.)
1.)
(x²-x1²) / x-x1 ; normalerweise sind die Summanden vertaucht, oder?
dritte Binomische Formel:
(x+x1)(x-x1) / x-x1
Nach Kürzen und x1 = x inkl. oben erwähnten Grenzübergang steht da
2x, was bekannt ist.
d f(x)/dx = lim h->0 mit 2.)
2.)
(x²-(x+h)²)/-h; hier habe ich das Minus im Nenner vergessen bei der ersten Antwort. In der Literatur sind die Summanden glaube ich vertauscht.
Nach Anwenden der ersten Binomischen Formel und Kürzen hat man
(-2x-h)/-1
Grenzübergang h->0 liefert das bekannte Ergebnis.
Hoffe, das war eine Hilfe. (Für ich wäre es wahrscheinlich keine…)
Joachim.
also bei so einer Funktion 3/4x^2+4 krieg ich das ja noch hin, wie du schreibst.
Aber, was mach ich z.B. x^2-4x+2? Da habe ich ja drei Faktoren.
Vielleicht kannst du mir das einmal vorrechnen und die Rechnung kommentieren. Wäre sehr nett von dir.
Hallo,
kann mir jemand didaktisch einfach (Schritt für Schritt)
erklären, wie ich die Ableitung einer Funktion mithilfe der x-
bzw- h-Methode herausfinde?Vielen Dank!
Hi,
Aber, was mach ich z.B. x^2-4x+2? Da habe ich ja drei
Faktoren.Vielleicht kannst du mir das einmal vorrechnen und die
Rechnung kommentieren. Wäre sehr nett von dir.
Ich mache das mal mit dem „h“:
(wenn ich im Folgenden lim schreibe, dann meine ich immer lim (h -> 0) )
Die Ableitung von x^2-4x+2 an der Stelle x ist:
f’(x)
= lim { [(x+h)^2-4(x+h)+2] - [x^2-4x+2]} / h
= lim [(x+h)^2-x^2 - 4x - 4h + 4x + 2 - 2] / h (vieles fällt weg)
= lim ( x^2 + 2xh + h^2 - x^2 - 4h ) / h
= lim ( 2xh -h^2 -4h ) / h (h ausklammern)
= lim h/h * (2x - 4 - h)
= lim (2x -4 - h )
Jetzt geht ja h gegen Null, also:
= 2x - 4 (fertig)
Die Ableitung ist also 2x - 4.
(Der lim bezieht sich übrigens immer auf alles, was danach in der Zeile steht. Ich will da nicht noch mehr Klammern setzen.)
Grüße,
Zwergenbrot
Hi,
also zunächst sind das mal drei Summanden. Wie auch immer. Ich erinnere mich an einen Satz aus dem Matheskript I, nachdem der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Summanden ist. Das ist cool. Denn nun kann man die einzelnen Summanden unabhängig voneinander ableiten…
Aber, was mach ich z.B. x^2-4x+2? Da habe ich ja drei
Faktoren.
Hallo,
Hi,
also zunächst sind das mal drei Summanden. Wie auch immer. Ich
erinnere mich an einen Satz aus dem Matheskript I, nachdem der
Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte der
einzelnen Summanden ist. Das ist cool. Denn nun kann man die
einzelnen Summanden unabhängig voneinander ableiten…
Der Grenzwert einer Summe ist dann und nur dann gleich der Summe der Einzelgrenzwerte, wenn diese existieren. Das ist in diesem Beispiel natürlich der Fall. Allerdings darf man die Vorraussetzung nicht vergessen.
Grüße,
Zwergenbrot