Hallo,
Die Kurve y=x+1/x hat zwei Asymptoten, die y-Achse und die Winkelhalbierende. Diese drei Linien bilden eine Fläche die sich zwar erst im Unendlichen schließt aber optisch so wirkt, als ob sie endlich sein könnte (was wohl nicht der Fall ist…
Es gibt unendliche Reihen, die trotz unendlicher Summationen ein endliches Ergebnis liefern. Kann es dazu analog Flächen geben, die zwar unendlich ausgedehnt sind, aber dennoch nur endlich groß sind?
Ralf
Fraktale!?
Hallo Ralf,
was du meinst könnten Fraktale sein.
http://science.kairo.at/frakt_koch.png (wenn du dir das hier als Fläche vorstellst-aus 3 Initiatoren ein Dreieck basteln)
und hier noch eins für Volumen
http://www.uni-kl.de/AG-Leopold/dg/lehre/projekte_di…
Sonst mal unter Wikipedia schauen oder einfach mal in der Google-Bildersuche „Fraktale“ eingeben, da kommen echt nette Bilder raus 
Gruss x303
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Ralf
Kann es dazu analog Flächen
geben, die zwar unendlich ausgedehnt sind, aber dennoch nur
endlich groß sind?
Ja, und das müssen gar keine Fraktale sein sondern ganz X-beliebig aussehende Funktionen die asymptotisch gegen die X-Achse laufen. Das mit der optischen Einschätzung ist übrigens rect schwierig. Die Funtionen können sich sehr ähneln und doch unterschiedlich sein - die einen begrenzt und die anderen eben nicht.
ich kann Dir jetzt aber hier nicht rüberbringen wie du den unterschied methodisch feststelölen kannst.
auf jeden Fall ist die Antwort auf Deine Frage: JA
Gruß,
Udo
Jein
Hi x303
Fraktale kamen mir zwar auch in den Sinn, allerdings sind die ja nicht wirklich unendlich ausgedehnt, sondern haben nur eine unendlich lange (gefaltete) Begrenzungslinie, passen also bequem auf ein Blatt Papier, im Gegensatz zu einer asymptotischen Kurve.
Die Bildersuche ist aber eine gute Idee
Ralf
Hallo Ralf,
was du meinst könnten Fraktale sein.
http://science.kairo.at/frakt_koch.png (wenn du dir das hier
als Fläche vorstellst-aus 3 Initiatoren ein Dreieck basteln)
und hier noch eins für Volumen
http://www.uni-kl.de/AG-Leopold/dg/lehre/projekte_di…Sonst mal unter Wikipedia schauen oder einfach mal in der
Google-Bildersuche „Fraktale“ eingeben, da kommen echt nette
Bilder rausGruss x303
Kann es dazu analog Flächen
geben, die zwar unendlich ausgedehnt sind, aber dennoch nur
endlich groß sind?Ja, und das müssen gar keine Fraktale sein sondern ganz
X-beliebig aussehende Funktionen die asymptotisch gegen die
X-Achse laufen. Das mit der optischen Einschätzung ist
übrigens rect schwierig. Die Funtionen können sich sehr ähneln
und doch unterschiedlich sein
Hallo Udo,
Dann lässt sich wohl nicht direkt von einer unendlichen Reihe auf die entsprechende Fläche schließen, nach dem Motto: die Reihe 1/n divergiert; 1/n² konvergiert also divergiert auch die Fläche zu y=1/x und die Fläche zu y=1/x² konvergiert…
Gibts denn ein einfaches Beispiel einer asymptotischen Funktion, deren Fläche endlich ist?
Ralf
Hallo,
Dann lässt sich wohl nicht direkt von einer unendlichen Reihe
auf die entsprechende Fläche schließen, nach dem Motto: die
Reihe 1/n divergiert; 1/n² konvergiert also divergiert auch
die Fläche zu y=1/x und die Fläche zu y=1/x² konvergiert…
im Grunde schon, denn die unendliche Reihe beschreibt ja eine Ober- bzw. Untersumme des entsprechenden Integrals (mit Stufen fester Breite 1, am besten eine Skizze machen). Somit liefert die Reihe 1/n eine Abschätzung des Integrals über 1/x von unten: das Integral über IR+ von 1/x ist größer als die Reihe, also divergent. Analog liefert die Reihe 1/n2 eine obere Schranke für das Integral über [1,∞) von 1/x2, welches also existiert.
Gibts denn ein einfaches Beispiel einer asymptotischen
Funktion, deren Fläche endlich ist?
1/xs mit Re(s) > 1 auf [1,∞)
–
Philipp
Ein einfaches Beispiel
Hallo
Kann es dazu analog Flächen
geben, die zwar unendlich ausgedehnt sind, aber dennoch nur
endlich groß sind?
Durchaus.
Ein einfaches Beispiel ist die Funktion
y = exp(-a x)
Die Fläche unter der Kurve von x=0 bis oo ist 1/a.
Gruss
Ratz
neuer Versuch
Hallo Ralf,
ich glaube ich habe wohl deine Frage falsch verstanden.
Aber das was folgt, kommt mir zu logisch vor:
„Mit einer Reihe berechnest du quasi den Flächeninhalt unter einer Kurve.
Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist auch deren Integral endlich.“
Ist es das, was du wissen wolltest?
Wenn nicht, dann weiss ich auch nicht mehr weiter 
Gruss x303
Hi x303,
„Mit einer Reihe berechnest du quasi den Flächeninhalt unter
einer Kurve.
Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist auch deren Integral
endlich.“Ist es das, was du wissen wolltest?
eigentlich ja - als Nichtmathematiker erscheint der (offenbar triviale Zusammenhang keineswegs selbstverständlich, da beim Integral ja zwischen jeder der unendlich vielen ganzen Zahlen unendlich weitere Zahlen addiert werden, also quasi eine unendlichfache Unendlichkeit (also Aleph 1, statt Aleph 0 …
Ralf
