Hallo Experten,
allen erstmal ein frohes Neues Jahr!
Kürzlich habe ich hier die Extremstellenberechnung für f(x)=x^n/n^x gesucht und den Lösungsweg hierfür aufgezeigt bekommen. In diesem Zusammenhang finde ich es aber noch viel interessanter, die Lösung der Gleichung x^n=n^x (n Element der natürlichen Zahlen) zu berechnen (nicht-triviale Lösung). Wer kann mir zeigen, wie das funktioniert? (Lösung bitte für einen „Dummy“ erklären!) Vielen Dank im voraus!
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Thomas
Hallo,
allen erstmal ein frohes Neues Jahr!
danke, auch Dir ein segensreiches 2008 
[…] die Lösung der Gleichung x^n=n^x (n Element der
natürlichen Zahlen) zu berechnen (nicht-triviale Lösung). Wer
kann mir zeigen, wie das funktioniert?
Die Antwort lautet, dass es leider überhaupt nicht funktioniert. Nur genügend einfach strukturierte Gleichungen können analytisch aufgelöst werden. Dieses Kriterium erfüllt Deine Gleichung nicht, obwohl sie so einfach aussieht. Die numerische Berechnung von Lösungen steht Dir natürlich bei jeder Gleichung frei.
Im allgemeinen hat Deine Gleichung übrigens mehrere Lösungen, z. B. für n = 4 habe ich drei Nullstellen von x4 – 4x ausfindig machen können, eine bei x = 2, eine bei x = 4 (klar, x = n ist trivialerweise immer eine Lösung von xn = nx) und noch eine bei x ≈ –0.766.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
das ist natürlich zu schade, dass es bei meiner Gleichung keine Umformung gibt. Dennoch vielen Dank für Deine Mühe. Gleich morgen erkundige ich mich mal, ob es zu dem Thema Literatur gibt, die wenigstens zu einigen Beispiele numerische Lösungen bietet. Falls ich nichts finden sollte, werde ich einige Beispiele (von n=2 bis n=9) selbst numerisch lösen.
Gruß Thomas
hi,
allen erstmal ein frohes Neues Jahr!
schön, dass man hier dir und allen ein gutes neues wünschen kann.
Kürzlich habe ich hier die Extremstellenberechnung für
f(x)=x^n/n^x gesucht und den Lösungsweg hierfür aufgezeigt
bekommen. In diesem Zusammenhang finde ich es aber noch viel
interessanter, die Lösung der Gleichung x^n=n^x (n Element der
natürlichen Zahlen) zu berechnen (nicht-triviale Lösung).
zunächst zu natürlichen n:
es gibt immer die triviale lösung x = n. für gerade n gibt es dann noch eine weitere negative lösung und eine weitere positive. (die exponenzialfunktion n^x schneidet die nach oben offene parabel n-ter ordnung in 3 punkten.)
für ungerade n gibts neben der trivialen nur mehr eine weitere lösung. (die exponenzialfunktion n^x schneidet die parabel n-ter ordnung, deren linker ast im negativen bereich liegt, in 2 punkten.)
aber wo liegen die jeweils?
für reelle n bringen wir das ganze auf eine gemeinsame basis (z.b. e):
x^n = (e^(ln x))^n = e^(ln x * n)
n^x = (e^(ln n))^x = e^(ln n * x)
damit läuft es auf die untersuchung der gleichung
ln x * n = ln n * x
bzw.
x / ln x = n / ln n
hinaus.
mit kurvendiskussion kann man zeigen, dass x / ln x bei x = e ein minimum hat. (x / ln x ableiten und gleich 0 setzen.)
links (für x gegen 1) bzw. rechts (für x gegen +oo) davon steigen die werte von x / ln x jeweils gegen +oo.
der wert n / ln n ist also bei n = e minimal, nämlich e. für n = e gibt es also nur eine lösung der gleichung
x / ln x = n / ln n
die exponenzialfunktion e^x und die funktion x^e berühren einander im punkt (e, e) und haben dort beide den anstieg e.
ist 1 e gibt es eine weitere lösung zwischen 1 und e.
für 0 = 3: jeweils noch eine lösung zwischen 1 und e, die mit steigendem n immer näher zu x = 1 rückt.
für reelle n gilt:
ist n = e, so gibt es nur die triviale lösung. ebenso für 0 1 und n e, dann gibt es jeweils 2 lösungen, eine über e und eine zwischen 1 und e.
die beiden lösungen verhalten sich jeweils „spiegelbildlich“ im folgenden sinne: je weiter die eine von e weg ist, desto weiter ist auch die andere von e weg.
hth
m.
Hallo Michael,
auf jeden Fall vielen vielen Dank für Deine Mühe und toll zu sehen, wie man dieses Thema „ausarbeiten“ kann! Jetzt weiss ich ja schon durch Deine Hilfe eine ganze Menge mehr darüber!
Grüsse
Thomas