Wie kann man das beweisen?
Liebe Experten, kürzlich fand ich heraus, dass eine Extremstelle der Funktion F(x)=x^n/n^x (Maximum) bei exakt n/ln(n) existiert! Wie kann man das beweisen? Gibt es Literatur über das Thema? Für Hinweise wäre ich äusserst dankbar!
M f G
Thomas
Hallo,
ein spezielles Buch dazu wirds nicht geben 
Denn das Ganze ist in 2 Minuten gezeigt
Eine Extremstelle existiert ja genau an der Stelle x, an der die Ableitung gleich 0 ist.
So wie ist denn die Ableitung von x^n / n^x .
Bist du mit Ableitungsregeln vertraut? Wenn nicht erklär ichs gern nochmal genauer, ansonsten ergibt sich per Quotientenregel:
dy n*x^n-1 * n^x - x^n * ln(n)*n^x
___= _________________________________________
dx n^2x
So. Dieses Monstrum soll jetzt gleich Null sein. Es reicht also aus den Zähler zu betrachten. Denn da man ja offiziell nicht durch Null teilen darf, muss der Zähler ja Null sein, damit der Bruch Null ergibt.
n*x^n-1 * n^x - x^n * ln(n)*n^x
n*x^n-1 * n^x = x^n * ln(n)*n^x | durch n^x teilen
n*x^n-1 = x^n * ln(n) | durch x^n-1 teilen ergibt
n = x * Ln(n) | durch Ln teilen ergibt
x= n / ln (n)
Tada! Fertig
Grüße
VAST
kleinkarierte ergänzung
Hi,
natürlich soll die erste Zeile der Äquivalenzumformung
n*x^n-1 * n^x - x^n * ln(n)*n^x = 0 heißen
hi,
Liebe Experten, kürzlich fand ich heraus, dass eine
Extremstelle der Funktion F(x)=x^n/n^x (Maximum) bei exakt
n/ln(n) existiert!
differenzieren und ableitung gleich 0 setzen.
F(x) = x^n/n^x = x^n / e^((ln n)*x)
denn e^ln n = n
F’(x) = (n*x^(n-1) * e^((ln n)*x) - x^n * e^((ln n)*x) * ln n) / e^(ln n * x)^2
nach quotientenregel und kettenregel, (e^f(x))’ = f’(x) * e^f(x)
ableitung ist nur 0, wo zähler 0 ist:
(n*x^(n-1) * e^((ln n)*x) - x^n * e^((ln n)*x) * ln n) = 0
bzw.:
(n*x^(n-1) * e^((ln n)*x) = x^n * e^((ln n)*x) * ln n)
kürzen durch x^(n-1) und e^((ln n)*x)
n = x * ln n
x = n/ln n
nachvollziehbar?
m.
Tach,
Liebe Experten, kürzlich fand ich heraus, dass eine
Extremstelle der Funktion F(x)=x^n/n^x (Maximum) bei exakt
n/ln(n) existiert! Wie kann man das beweisen? Gibt es
Literatur über das Thema? Für Hinweise wäre ich äusserst
dankbar!
Durch Ableiten und Ableitung = Null setzen. Oder womit genau hast Du dabei Schwierigkeiten?
Gruss
Paul
Hallo VAST,
vielen vielen Dank für Deine Hilfe! Ich denke das war gar nicht so kompliziert für mich, so dass ich Deine Erklärung sogar ganz gut verstanden habe! Ich schaue mir gerade die Quotientenregel in Wikipedia an, um genau nachzuvollziehen, wie man auf die Ableitung kommt (aber alles o.k., bitte mach Dir keinen weiteren Umstand mehr, mir das zu zeigen)
Gruß
Thomas
Allen Experten vielen Dank!
kleine Gegenfrage
Hallo,
nur so am Rande, weil ich so neugierig bin
Wie kommt man denn ohne Ableitung etc. zufällig darauf, dass es eine Extremstelle bei n / ln n gibt?
wissbegierige Grüße
VAST
Hallo VAST,
manchmal gibt es halt Zufälle…
will meinen, in der Zeit, in der ich mich mit der Funktion x^n/n^x beschäftigt habe, bekam ich rein zufällig ein Buch in die Hände, in dem es glaub ich um die Riemannsche Vermutung ging (jedenfalls darum, dass die Primzahlenanzahl unter einer bestimmten Grenze annähernd „Grenze“/LN(„Grenze“) beträgt. In diesem Buch wurde als Beispiel 2/ln(2)=2,885… genannt, eine Zahl, die ich aus den eigenen Berechnungen wiedererkannte! So kam ich dann darauf, dass die Extremstelle allgemein durch n/ln(n) zu ermitteln ist!
So viel zu der „Gegenfrage“…
Grüsse Thomas
P.S.: „2/ln(2)“ ist natürlich ein schlechtes Beispiel für eine Primzahlobergrenze, unter der ja keine Primzahl zu finden ist, allenfalls die 2, wenn die Obergrenze auch Primzahl sein darf.
Das Beispiel war jedoch der erste Eintrag in einer Tabelle mit verschiedenen Obergrenzen, die alle auf Genauigkeit: „exakte Anzahl Primzahlen unter der Obergrenze“ im Verhältnis zu „Ergebnis n/ln(n)“ überprüft wurden. Andere Beispiele waren hier auch verschiedene höhere Zehnerpotenzen als Obergrenze (diese Beispiele waren dann schon besser gewählt)…