X- und y- Komponenten des Drehimpulses

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
in der Quantenmechanik ist die z-Achse eines Systems mit Drehimpuls meistens ausgezeichnet.
Und irgendwie sollte sich doch ergeben, dass =. Das heißt der Erwartungswert des (Drehimpulses in x-Richtung zum Quadrat) ist gleich dem Erwartungswert des (Drehimpulses in y-Richtung zum Quadrat).

Mit der Definition L_x=0.5(L_+ + L_-) und L_y= 1/I *0.5 (L_+ + L_-) sollte sich das doch nachrechnen lassen, aber ich komm nicht drauf, wie das geht.

L_+, L_- sind die Leiteroperatoren, wie hier definiert: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpulsoperator#Eige…

#2

Hi,

du kannst die Ausdrücke für L-^2 und L+^2 ja einfach mal ausmultiplizieren. Dann erhälst du für L-^2 z.B:
1/4*(L+^2+ L+L- + L-L+ + L-^2)
Wenn du jetzt den Erwartungswert bildest, bleiben nur die Terme übrig, in denen L- UND L+ auftauchen, denn dies sind ja Auf und Absteige Operatoren und die neuen Wellenfunktionen sind Orthogonal zu der alten: = const* = const*0 = 0.
Aber: = const* = const
Und wenn du dies für L- und L+ machst, siehst du, dass die gleichen Terme übrig bleiben, nämlich 1/4*(L-L+ + L+L-).
War das nachvollziehbar? - sonst meld dich nochmal.
Viele Grüße
Manny

#3

Hallo,
folgendes kann ich noch nicht nachvollziehen:

Auf und Absteige Operatoren und die neuen Wellenfunktionen
sind Orthogonal zu der alten: = const* =
const*0 = 0.

Das funktioniert doch nur bei Basiszuständen.
Wenn man eine Linearkombination aus Basiszuständen |l> und |l-1> hat, zum Beispiel |l> + |l-1> dann ist ( + |l-1&gt:wink:=(+|l-2>=1, also ungleich 0.

Wie kann man das auflösen, oder muss man in diesem Fall anders argumentieren?

#4

Hi Tim,

ja, da hast du recht - das gilt nur für Eigenzustände.
Vielleicht habe ich auch gerade einen Gedankenfehler, aber muss denn immer gleich sein?

Denn wenn ich das in L± ausdrücke folgt ja daraus, dass L+^2 + L-^2 = 0 sein muss, denn sonst wären die Ausdrücke nicht gleich. Soweit müsste ich doch noch richtig liegen oder nicht?

Wenn ich mir jetzt einen gültigen Testzustand generiere - z.B. 1/sqrt(2)*(|1>+|3&gt:wink:, dann ist der Erwartungswert von L+^2 und L-^2 ungleich 0. Da aber beide Erwartungswerte positiv sind (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpulsoperator#Eige…)) können sie sich nicht gegenseitig aufheben.
Und daraus würde ich schließen, dass immer gleich nicht für beliebige Zustände gilt.

Siehst du einen Fehler in meinem Gedankengang?

viele Grüße

Manfred

#5

Hallo,
ich sehe keinen Fehler in deinem Gedankengang.
Ich habe auch mal meine Aufzeichnungen nochmal dahin geprüft ob die Aussage = immer stimmt.
Aber wir haben immer Eigenzustände in der z-Basis verwendet und nie Überlagerungen.

Für Eigenzustände in der z-Basis ist die Aussage immer richtig, aber wohl nicht für einen allgemeinen Zustand, denn ist nicht immer 0.

Würdest du dem zustimmen?

#6

Hi,

ja so würde ich das auch erstmal sehen. Wobei auch ungleich 0 sein dürfte und trotzdem könnte = erfüllt sein.
Um = aber immer zu erfüllen, muss zumindest die Überlagerung + = 0 sein und dies ist nicht immer der Fall - wie man ja an dem Beispiel gesehen hat.

#7

sorry - ich glaub ich hab mich eben etwas vertan - wenn ungleich 0 ist, kann auch die Überlagerung + nicht mehr gleich 0 sein.