Hallo!
ich sitz am sonnigen samstag an der uni und löse DGL Aufgaben und bin auf einem problem gestossen.
Aufgabe: y′′/4 − 3y′ + 9y = 9x2
Mein Lösungsweg: y’’ durch Lambda ersetzt und Nullpunkte bestimmt und rechte seite der gleichung 0 gesetzt --> λ 1,2= 6
Daraus bekomm ich Ansatz 1: y_0=c(x)e^6x
Wobei nach meiner Lösung ist mein ansatz 1 falsch. Der Ansatz sollte Ae^6x + Bxe^6x sein.
Ausser dem ist y_p(x) = Cx2 + Dx + E.
warum y_p(x) so?
Vielen Dank
lg cherry
auch Hallo,
wenn du y′′/4 − 3y′ + 9y = 9x2 gegeben hast, dann würde ich erstmal den Term zu einer homogenen Form umstellen, in der du y’’ alleine stehen hast
y’’/4 − 3y’ + 9y = 0 |*4
y’’ - 12y’ + 36 = 0
Wenn du jetzt Lambda ausrechnen möchtest, bekommst du wie auch vorher eine doppelte Nullstelle bei Lambda_1 = Lambda_2 = 6 .
Wenn Lambda_1 = Lambda_2 reell und gleich sind, so lautet die allgemeine Lösung der homogenen Form:
y_h(x) = A1*e^(-a/2)x + A2*x*e^(-a/2)x
mit a ist hier -12
so kommst du schließlich auf y(x)=A1*e^6x+A2x*e^6x
Weiter gehts mit der Störfunktion s(x)=9x^2 (falls ich das richtig verstanden habe)
Dazu gibt es die speziellen Ansätze. Genau genommen steht da
s(x)=0x+0x+9x^2 und dafür ist y_p(x)=A0+A1x+A2x^2 der Lösungsansatz. Nun mußt du aber noch darauf achten, dass der Grad des Lösungsansatzes 1 höher ist als der von der Störfunktion ist, deshalb x(y_p(x)) = A0x+A1x^2+A2x^3 ist der Lösungsansatz den du brauchst.
Gruß JMo
Hallo,
Dazu gibt es die speziellen Ansätze. Genau genommen steht da
s(x)=0x+0x+9x^2 und dafür ist y_p(x)=A0+A1x+A2x^2 der
Lösungsansatz.
richtig.
Nun mußt du aber noch darauf achten, dass der
Grad des Lösungsansatzes 1 höher ist als der von der
Störfunktion ist, deshalb x(y_p(x)) = A0x+A1x^2+A2x^3 ist der
Lösungsansatz den du brauchst.
Wie bitte?!? Kannst Du mal erklären, was du damit meinst?
Ich komme jedenfalls mit dem Ansatz
yspez(x) = a + b x + c x2
problemlos auf die partikuläre Lösung
yspez(x) = 1/6 + 2/3 x + x2
welche die inhomogene DG anstandslos löst.
Gruß
Martin
(Vielleicht hast Du bei Deiner obigen, mir rätselhaften Behauptung etwas durcheinandergebracht. Der Ansatz x (a + b x + c x2) wäre tatsächlich in einem besonderen Fall richtig und nötig, nämlich dann, wenn Null eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DG wäre. Das ist hier aber nicht der Fall, denn λ2 – 12 λ + 36 hat nur die 6 als Nullstelle.)
Hallo,
Du hast recht gehabt mit dem speziellen Ansatz. Ich komme auch auf das gleiche Ergebnis.
Der Ansatz x (a + b x + c x2) wäre tatsächlich
in einem besonderen Fall richtig und nötig,
nämlich dann, wenn Null eine einfache
Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DG wäre.
Das ist hier aber nicht der Fall, denn λ2 – 12 λ + 36
hat nur die 6 als Nullstelle.)
Kannst du mir trotzdem mal verraten ob das in jedem Fall gilt. Wenn die charakteristische Gleichung der homogenen DGL mindestens eine Nullstelle mit x=0 hat, das mann dann den speziellen Ansatz mit x multiplizieren muß?
Gruß JMo
Hallo,
Wenn die charakteristische Gleichung der homogenen DGL
mindestens eine Nullstelle mit x=0 hat, das mann dann den
speziellen Ansatz mit x multiplizieren muß?
ja. Für eine polynomische Störfunktion der Form s(t) = b0 + b1 t + … + bm tm führt der Ansatz
x(t) = A0 + A1 t + … + Am tm
zu einer Lösung, wenn p(0) ≠ 0 ist (p = das charakteristische Polynom der DG). Ansonsten, d. h. wenn 0 eine ν-fache Nullstelle von p ist, führt der Ansatz
x(t) = tν (A0 + A1 t + … + Am tm)
zu einer Lösung.
Liegt eine exponentielle Störfunktion s(t) = ea t vor, gilt ähnliches: x(t) = C ea t falls p(a) ≠ 0 bzw. x(t) = C tν ea t falls a eine ν-fache Nullstelle von p ist.
Die Beweise sind nichts besonderes. Du findest sie z. B. im Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1.
Gruß
Martin
auch Hallo,
vielen Dank für die Antwort, so eine Erklärung fehlte mir noch in meinem Mathe-Skript.
Gruß, JMo