Ermitteln Sie alle Lösungen von z^6=1 und geben sie die n-ten Einheitswurzeln an.
Wir haben dazu hunderte von Formeln bekommen, aber welche ist die richtige? was muss ich zuerst tun? was danach?
Wann brauche ich die polarkood.darstellung, wann die exponential- oder eulersche darstellung???
ich habe da noch ziemliche probleme.
zuerst muss man ja z0 bis zk ermitteln, oder? aber wie?
hierfür bietet sich die trigonometrische Darstellung an, da die n-ten Wurzeln in den anderen „Darstellungsformen“ nur schwierig zu berechnen sind (es ist natürlich möglich, aber nicht so schön…).
Die Formel, die du für die Lösung solcher Gleichungen bekommen haben dürftest, kann man recht gut nachvollziehen:
Da jede Komplexe Zahl, also auch die n-te Wurzel einer bestimmten Zahl, einen Winkel zwischen 0 und 2pi „besitzen“ kann, wird die Zahl an sich einen Winkel zwischen 0 und 2npi besitzen; der Betrag wird die n-te Wurzel aus dem Betrag der Zahl sein (Das geht auf die Potenzierung einer Zahl, zumindest von der Vorstellung her, zurück).
Also: die Lösung der Gleichung ergeben sich aus:
z^n=r\cdot(cos(\phi)+isin(\phi))
z_k=\sqrt[n]{r}\cdot\left(cos\left(\frac{2k+\phi}{n}\right)+isin\left(\frac{2k+\phi}{n}\right)\right)\ \ k\in{1,…,n-1}
1=1\cdot(cos(0)+isin(0))
(die Umwandlung einer beliebigen komplexen Zahl in diese Darstellung dürftest du gelernt haben)
).