Zahl der m-Ecke im n-Eck

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
Gegeben sei ein n-Eck mit sämtlichen, möglichen Verbindungslinien („vollständiger Graph“, z.B. ein aus 36 Linien gebildetes Neun-Eck).
Die sich schneidenden diagonalen Linien bilden eine Vielzahl an Teilflächen (m-Ecke). Wieviele?
Ralf

z.B.
Viereck -> 4 Dreiecke
Fünfeck -> 1 Fünfeck, 0 Vierecke, 10 Dreiecke

#2

hi,

Gegeben sei ein n-Eck mit sämtlichen, möglichen
Verbindungslinien („vollständiger Graph“, z.B. ein aus 36
Linien gebildetes Neun-Eck).
Die sich schneidenden diagonalen Linien bilden eine Vielzahl
an Teilflächen (m-Ecke). Wieviele?
Ralf

z.B.
Viereck -> 4 Dreiecke
Fünfeck -> 1 Fünfeck, 0 Vierecke, 10 Dreiecke

die frage ist, ob du nur „diagonale“ linien zulässt oder auch randlinien. (diagonalen: linien, die nicht benachbarte punkte verbinden.)

wenn du im viereck 4 dreiecke erkennst, sind die randlinien dabei; dann sinds beim fünfeck aber 5 vierecke und nicht 0.

wenn du im fünfeck keine vierecke erkennst, sind im viereck auch keine dreiecke. meine ich.

oder hab ich was noch nicht gerafft?

m.

#3

Viereck -> 4 Dreiecke
Fünfeck -> 1 Fünfeck, 0 Vierecke, 10 Dreiecke

die frage ist, ob du nur „diagonale“ linien zulässt oder auch
randlinien. (diagonalen: linien, die nicht benachbarte punkte
verbinden.)

wenn du im viereck 4 dreiecke erkennst, sind die randlinien
dabei; dann sinds beim fünfeck aber 5 vierecke und nicht 0.

wenn du im fünfeck keine vierecke erkennst, sind im viereck
auch keine dreiecke. meine ich.

Hi,
das Wort „diagonale“ war nur ungeschickt gewählt(leider gibts hier keine Korrekturfunktion), d.h. die Randlinien sollen dabei sein (ist letztlich aber egal, da am Rand eh immer n Dreiecke entstehen)

Hier ein vollständig vernetztes Fünfeck (ohne Vierecke :wink:…
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interau…

R.

#4

Hallo.

Die sich schneidenden diagonalen Linien bilden eine Vielzahl
an Teilflächen (m-Ecke). Wieviele?

Jede Ecke ist mit zwei anderen Ecken verbunden. Im Dreieck sind damit trivialerweise alle Verbindungen hergestellt. n=3 => m=0

Im Viereck fehlen die Diagonalen : n=4 => m=4

Im Fünfeck fehlen jeder Ecke zwei Verbindungen. Siehe

 A
B C
 D E

: n=5 => m=10

Das ergibt jeweils dummerweise nur die Anzahl der Dreiecke. Diese kann man trotzdem mit der geschlossenen Formel m = n * (n-3) darstellen.

Im Fünfeck ergibt sich noch zusätzlich ein Fünfeck; im Sechseck stecken sechs Vierecke. Vermutung : Das Bildungsgesetz ist für gerade und ungerade n unterschiedlich. Das weiter zu verfolgen, fehlt mir aber momentan der Nerv.

Gruß Eillicht zu Vensre

#5

Ansatz

Vermutung : Das Bildungsgesetz ist für gerade und ungerade n unterschiedlich.

Hi,
aus diesem Grund wollte ich die Frage auch lieber weitergeben :wink:

Mein Ansatz war:
Betrachte ich die Ecken als 1-Ecke und die Verbindungslinien als 2-Ecke, dann ergibt sich schnell eine Lösung - die allerdings nur manchmal klappt…:

z.B. Fünfeck ->
1 5-Eck
0 4-Ecke
10 3-Ecke
10 2-Ecke =Linien = n(n-1)/2
5 1-Ecke =Ecken = n

=> Vermutung:
Zahl der m-Ecke im n-Eck = n*(n-1)…*(n-m+1) / m!

Zahl der 1-Ecke = 5/1 = 5 …OK
Zahl der 2-Ecke = 5*4/2 = 10 …OK
Zahl der 3-Ecke = 5*4*3/6 = 10 …OK
Zahl der 4-Ecke = 5*4*3*2/24 = 5 …falsch
Zahl der 5-Ecke = 5*4*3*2*1/120 = 1 …OK

Gruß Ralf