Zahlenpaar,Summe,Produkt

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,

Ich habe heute von folgendem Rätsel erfahren. Ich habe es gelöst, und würde mich freuen, wenn ich meine Lösung von jemandem bestätigt bekommen könnte.
Ach, noch was:
Vielleicht wäre es besser, wenn Ihr tatsächlich nur die Lösung posten würdet, nicht aber den Lösungsweg. Das bringt dem Rätselfreudigen weitaus mehr - denn so hat er eine Kontrolle, weiß aber, er hat das Rätsel erst gelöst, wenn er selbst draufgekommen ist!

={[
Ein Mathelehrer wendet sich an seine Schüler und meint, er denke sich zwei unterschiedliche Zahlen von 1 bis 9.
Dem Schüler A werde er das Produkt, dem Schüler B die Summe beider Zahlen zuflüstern.
Deren Augabe sei es, das Zahlenpaar herauszubekommen. Die beiden Schüler sollen, sobald sie die Lösung wissen, dies kundtun, nicht aber die Lösung selbst.
Nachdem der Lehrer den beiden Schülern das Produkt bzw. die Summe zugeflüstert hat, überlegt A kurz, und meint dann: „Ich muss leider passen“.
Daraufhin denkt Schüler B ein kurzes Weilchen nach und sagt: „Ich muss auch passen“.
Da meint Schüler A: „Dann weiß ich es!“ Nach einem Moment des Nachdenkens ruft Schüler B: „Dann weiß ich es auch!“

Nun die Frage: Um welches Zahlenpaar könnte es sich handeln? ]}=

Anmerkungen:
Ich weiß nicht, wo das Rätsel offiziell herkommt. Mir wurde es per Telefon „überliefert“, diesen Text hier habe ich gedichtet. Die Person am Telefon hatte es in Deutschland in einer Jugendherberge von 3 Ungarischen Mathematik-Professoren gestellt bekommen.
Meiner Meinung nach gibt es 2 Lösungen, die ich erst einmal nicht posten möchte. Die Professoren übrigens stritten sich, ob die Lösung [4;2] richtig sei…

Mögliche Zusatzaufgaben:

a) Wieviele Kombinationen von Zahlenpaaren gibt es? Wie kann man dies einfach berechnen?
b) Bei wievielen Zahlenpaaren kann A sofort die Lösung sagen?
c) Bei wievielen Zahlenpaaren kann B, nachdem A sofort die Lösung sagen kann, auch sofort die Lösung sagen?
d) Programmierung eines Taschenrechner/Computer-Programms

Viel Spaß beim Knobeln…

Euer bongs

#2

Hmm
Hallo,
kann an meinen Schlafdefizit liegen aber bist Du Dir sicher, daß die Aufgabe korrekt gestellt ist ? Wenn ich die 45 Paare betrachte, folgt aus dem Passen von A immer das Passen von B (d.h. das Produkt resp. die Summe kann nicht eindeutig zerlegt werden). Insofern sehe ich nicht den „Informationsgewinn“, der durch die gegenseitige Kommunikation entsteht und was A im zweiten Durchlauf dazu ermächtigt die Lsg. zu kennen.

Gruss
Enno

#3

Hallo,

Tja… Das ist ja grad das spannende. Es geht auf jeden Fall. Versuchs weiter!

Tschau,
bongs

#4

Ich komme auf 3 und 8. Stimmt das?

#5

Hallo,
nach nochmaligen überlegen komme ich auf das Paar (1,4). (2,4) ist mir unklar.

Gruss
Enno

PS:

a) Wieviele Kombinationen von Zahlenpaaren gibt es? Wie kann man dies einfach berechnen?

Bilde die Summe 1+2+3+ … +9=45.

b) Bei wievielen Zahlenpaaren kann A sofort die Lösung sagen?

Bei 27.

c) Bei wievielen Zahlenpaaren kann B, nachdem A sofort die Lösung sagen kann, auch sofort die Lösung sagen?

Bei 7.

#6

hallo,

3;8 stimmt, es gibt aber noch eine zweite lösung (*nicht verrat*)
1;4 oder 4;2 ist falsch (meines Eracht.)
Die möglichen Komb-mögl sind 36, da dopplungen ausgeschl sind
b) und c) hab ich noch net gemacht, nur ausgedacht :wink:

cu

#7

Hallo,

Die möglichen Komb-mögl sind 36, da dopplungen ausgeschl sind

ok, das habe ich übersehen. Ich schau mir die Sache nachher noch mal an.

Gruss
Enno

#8

Erklärung der ersten Lösung
Hallo, ich hab mir auch ziemlich Gedanken gemacht, bin aber alleine nicht drauf gekommen. Eigentlich wollte ich jetzt hier nochmal nachfragen wie man genau auf die Lösung kommt. Beim Schreiben der Frage hat sich dann aber doch irgendwie alles von selbst geklärt…

Der erste bekommt 24 zu hören und überlegt, dann ob es 1x24 oder 2x12 oder 3x8 oder 4x6 ist. Er kann sich nicht entscheiden.

Der Zweite bekommt 11 zu hören und hat zur Auswahl: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7 oder 5+6.

Nachdem der A-Junge sagte, er wisse es nicht, ist der B-Junge auch nur ein bisschen klüger und weiss, dass A keine keine Primzahl haben kann.

Der A-Junge geht die Zahlen durch, die B hätte genannt bekommen können (seine Multiplikatoren addiert): entweder 25(1+24), 14(2+12), 11(3+8) oder 10(4+6).

Wenn A jetzt die Zahl 25 in alle möglichen Summen aufspaltet, die 25 ergibt, kommt kein Paar heraus, welches multipliziert den Wert 24 ergibt.
Ebenso bei 14 und 10.
Nur bei 11 ergibt sich EINE Summme (3+8) die multipliziert seinen Wert 24 ergibt.

Eigentlich ziemlich einfach…

Martin

#9

Hallo,
ok mit der Einschränkung komme ich auf 3,8 und 1,8.

Gruss
Enno

#10

Lies dir nochmal die Aufgabe durch:

Der erste bekommt 24 zu hören und überlegt, dann ob es 1x24
oder 2x12 oder 3x8 oder 4x6 ist. Er kann sich nicht
entscheiden.

Die Zahlen liegen zwischen 1 und 9!
und 1x24 und 2x12 scheiden aus!

#11

Stimmt, hatte ich glatt übersehen…
aber ansonsten stimmt doch meine Überlegung, oder?

#12

Stimmt, hatte ich glatt übersehen…
aber ansonsten stimmt doch meine Überlegung, oder?

Nicht ganz, du hast geschrieben:

„Wenn A jetzt die Zahl 25 in alle möglichen Summen aufspaltet, die 25 ergibt, kommt kein Paar heraus, welches multipliziert den Wert 24 ergibt.
Ebenso bei 14 und 10.
Nur bei 11 ergibt sich EINE Summme (3+8) die multipliziert seinen Wert 24 ergibt.“

Also 25 und 14 fliegen ja raus.
Aber bei 10 gibt es doch auch ein Paar, das multipliziert 24 ergibt, nämlich 4 und 6.

Aber wenn Schüler B wirklich die Summe 10 bekommen hätte, hätte er sich folgende Kombinationen für Produkte des Schülers A überlegt:
1*9=9
2*8=16
3*7=21
4*6=24

Die ersten drei fallen raus, weil dann Schüler A ja die direkt die Lösung gewußt hätte.
Folglich hätte Schüler B direkt gewusst, dass es nur das Paar 4 und 6 sein.
Er hat es aber nicht gewusst!!
Also hat er gar nicht die Summe 10 genannt bekommen, sondern die 11!
Und das Paar lautet damit 3 und 8!

Alles klar?
Gruß
Oliver

#13

Feedback
Hallo,
was ist nun Deine 2te Lsg. ? Ich fahre in den nächsten paar Tagen erst mal Abtauchen nach Ägypten (Bootstour) - die Lsg. würde mich vorher schon noch interessieren.

Gruss
Enno

#14

Jetzt ist´s klar! Danke! (kT)
kt

#15

Lösungen sind nach meiner Meinung die folgenden Zahlenpaare:

(1;6)
(1;8)
(3;4)
(3;6)
(2;9)
(3;8)

also insgesamt 6 Lösungen.

Mein Lösungsansatz weiter unten, bei Desinteresse nicht scrollen!

Diese Zahlenpaare haben als einzige der möglichen Kombinationen eines gemein: 1) Ihr Produkt (Schüler A = „weiss nicht“) kann auch durch eine andere Kombination von Zahlen zustande kommen - insgesamt gibt es zehn Kombinationen, die jeweils paarweise das gleiche Produkt haben und 2) ihre Summe (Schüler B = „weiss nicht“) kommt innerhalb der Lösungsgruppe der 10 Kombinationen von A (siehe oben) mehrfach vor, z.B. (1+6)=(3+4), (1+8)=(3+6), (2+9)=(3+8), daher kann auch B keine Lösung nennen. Danach weiss A dass er die Lösungen aussortieren kann, die diese Bedingungen für seine Teillösung nicht erfüllen, und kann die Paarungen angeben (6 Lösungen), die beide Bedingungen erfüllen. Gleiches kann auch B nachvollziehen.
Allerdings ist es für die Lösung unerheblich, ob A oder B als erstes ruft „jetzt weiss ich es“, beiden haben den gleichen Informationsstand, nachdem keiner eine Lösung identifizieren konnte.

Gruss
Moritz

#16

Hallo,
die sechs möglichen Paare habe ich auch, nachdem B „ich passe“ sagte. Danach wäre aber bei den Paaren (2,9) und (3,6) für A keine eindeutige Lsg. ersichtlich, da 2*9=18=3*6 gilt. Eleminiert man die beiden Paare verbleiben noch (1,6), (1,8), (3,4) und (3,8). Für B ist dieser Gedankengang auch nachvollziehbar und er kann (2,9) und (3,6) aus der Faktorisierung der Summe 11 bzw. 9 streichen, womit diese eindeutig werden. Die Faktorisierung sieht nun wie folgt aus:

Produkt Paare
 6 (1,6)
 8 (1,8)
 12 (3,4)
 24 (3,8)




Summe Paare
 7 (1,6),(3,4)
 9 (1,8)
 11 (3,8)

d.h. falls B die Summe 9 oder 11 genannt bekommen hat, kann er jetzt eindeutig auf das Paar schließen. Ich finde das „dann“ bei B’s „dann weiß ich es auch“ irreführend. „Jetzt“ oder einfach „Ich weiß es auch“ wäre deutlicher.

Gruss
Enno