Zahlenrätsel

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,
folgendes Rätsel habe ich im Netz gefunden (Link gibt es später, da die Seite auch die Lsg. enthält). Für zwei teilerfremde natürliche Zahlen a,b>1 (z.B. 4,7) versucht man eine gegebene (natürliche) Zahl x als Summe der Vielfachen von a,b darzustellen, also x=a*s+b*t (bzw. x=4*s+7*t). Ab welcher Zahl Ka,b ist dies für alle nachfolgenden Zahlen möglich (die Zahl inklusive) ? Formaler ausgedrückt für welches Ka,b gilt das:

  1. jedes x>=Ka,b als a*s + b*t darstellbar ist.
  2. Ka,b minimal mit der Eigenschaft 1 ist.

Für 4,7 erhält man z.B. folgende darstellbare Zahlen:

0=4\ *0 +7\ *0 , 4=4\ *1 +7\ *0 , 7=4\ *0 +7\ *1 , 8=4\ *2 +7\ *0 ,
11=4\ *1 +7\ *1 , 12=4\ *3 +7\ *0 , 14=4\ *0 +7\ *2 , 15=4\ *2 +7\ *1 ,
16=4\ *4 +7\ *0 , 18=4\ *1 +7\ *2 , 19=4\ *3 +7\ *1 , 20=4\ *5 +7\ *0 ,
21=4\ *0 +7\ *3…

von hier an geht es immer, K4,7 wäre also 18. Wie sieht es für 3,5 und 5,9 aus ? Und läßt sich Ka,b anhand von a,b berechnen (mit Begründung bitte) ?

Gruss
Enno

#2

Tips
Hallo,
bei der Suche ist es hilfreich, daß es ausreicht a bzw. b aufeinander folgende Zahlen zu finden, die darstellbar sind (also z.B. 4 im Bsp.). Denn ist n-1 nicht darstellbar, aber n, n+1, … , n+a-1 darstellbar, ist jedes x>=n+a ebenfalls darstellbar, denn es gibt nach Annahme s,t,k>=0 mit a*s+b*t=x-a*k also a*(s+k)+b*t=x. Ka,b wäre hier n. Bsp. für 4,7 sind 18,19,20,21 darstellbar, damit ist z.B. 33=21+4*3=4*0+7*3+4*3=4*(0+3)+7*3=4*3+7*3. Bei 3,5 bzw. 5,9 reicht es 3 bzw. 5 darstellbare aufeinander folgende Zahlen zu finden. Weiterer Tip Ka,b ist ein einfaches Produkt, das als Faktoren das geringfügig veränderte a und b enthält.

Gruss
Enno

#3

Lsg
Hallo,
scheint ja keinen zu interessieren. Die Lsg wäre Ka,b=(a-1)*(b-1). Falls doch jmd. Interesse an dem Beweis hat, einfach mal anmailen.

Gruss
Enno