ich habe auch mal eine Frage im Bereich der Zahlentheorie: Für welche rationalen Zahlen a, b gilt a^b = b^a? Dabei interessieren natürlich keine Tupel mit a = b.
Ein Beispiel wäre a = 2, b = 4.
Ich habe mir dazu schon selber ein paar Gedanken gemacht, der letzte Schritt fehlt mir noch.
Es ist a = 0. Denn sonst 0^b = 0 (für b ungleich 0, was aber nach Voraussetzung gegeben ist), damit aber b^0 = 1, und 1 ungleich 0.
Damit ist aus Symmetrie auch b ungleich 0.
Wir setzen r = a/b a = r * b. Damit
a^b = b^a
(r * b)^b = b^(r * b)
r^b * b^b = b^(r * b)
r^b = b^(r * b - b)
r^b = b^((r-1) * b)
r^b = (b^(r-1))^b
r = b^(r-1)
r^(1/(r-1)) = b
Gesucht ist ein rationales r, so daß auch die (r-1)-te Wurzel aus r rational ist. Das geht zum Beispiel mit r = 2 (das ist das Beispiel oben).
Mir ist jetzt nicht klar, ob es noch andere rationale r mit dieser Eigenschaft gibt. Hat irgendwer eine zündende Idee?
Funktionstheoretisch gesehen
Hallo, Christian, „deine Identität“ a^b = b^a ist ja gleichbedoitend sowohl mit I) a^[1/a] = b^[1/b] als auch mit II) b*lna = a*lnb also lna/a = lnb/b
zu I) die Funktion f(x) = x^[1/x] ist zu untersuchen und zwar nach Ordinaten mirt gleichem x - Wert. Da hat sich zB Prof. Elstrodt mir beschäftigt und auch MxDonnell/USA
Diese Funktion hat ein z.B. ein Maximum bei (e;e^[1/e]), 0te Wurzelaus 0 = lim^(1/n)^n --> 0, und im unendlichen asymptot. Näherung (von oben) gegen 1, denn lim n^[1/n], n–oo = 1. Zwischen 0 und e Linkskurve, nach dem Maximum wieder Linkskurve.
Die Funtion hat also nur und genau alle Werte zwischen 1 und ~1,446678… zweimal. Z.B. ist 1,1^1,11178 = ~1,11178 und auch 1,1^38,5 = ~38,5, also ist ~1,11^38,5 = 38,5^1,11 (=55,58…).
Da sie alle diese Werte genau 2mal hat, also auch die rationalen Zahlen daselbst.
Unter anderem eben auch die von dir erwähnte Identität
2^[1/2] = 4^[1/4] = ~1,413…
II) Anderes Herangehen: die Funktion lnx/x ist zwischen 0 un 1 negativ (eineindoitig) hat ebenfalls ein Maximum bei (e; 1/e), „hinter“ dem sie asymptotisch gegen 0 geht, also zwischen 0 und ~1,446678… jeden Wert zweimal annehmend.
Die Problematik wurde hier schon einmal unter dem Gesichtspunkt „was gibt 0hoch0?“ von uns besprochen.
Ich hoffe, dir Anregungen gegeben zu haben!
Besonderes interesse erweckt übergens neben der allgemeinen Problematik der „Hyperpower-Funktionen“ die "iterierte Potenzfunktion f(x) = x^x^x^x^^^^^^ mit unendlichem „Baum“. Gugle doch mal nach „Hyperpowers“ und/oder „iterierte Potenz“.
Natürlich gibt es demzufolge keinerlei negative Lösungen, weder für a, noch für b, noch für beide gleichzeitig!
Lieber Krüsse, Moinmoin, Animath.
Zusatzbemerkung zur Rationalität
Zusatzbemerkung/Einschränkung: Natürlich stellt sich im Anschluß die Frage, für welche rationalen x1-Werte der Funktionswert x1^[1/x1] ein zweitesmal RATIONAL eingenommen werden tut.
Das erinnert mich allerdings von der Qualität der Fragestellung an die Lösung der Großen Fermatschen Vermutung und auch an den „Beweis, daß Zeta(3) keine rationale Zahl ist“ (frz. Mathematiker).
Einen Hinweis gibt vielleicht die Formel von Elstrodt:
x^[1/x] = a
Summe{{(n+1)^(n-1)*ln(a)^n}/n!},0,oo = x
Interessante Fragestellung, und ich staune immer wieder über die Zusammenhänge zwischen Zahlen- und Funktionenentheorie!
Lieber Krüsse, Moin, Manni
P.S.: das Seitenformat ist erschreckend unzuverlässig hier;
sah eben erst nach püosten, daß die Sache unübersichtlich
geworden war! Manni.
Keine Lsg. aber Frage
Hallo,
hast Du das Problem für natürliche Zahlen schon mal betrachtet, also a^b=b^a für a,b aus den natürlichen Zahlen ?
Ansonsten komme ich z.Z. soweit:
Es gelte (a/b)c/d=(c/d)a/b fuer a,b,c,d natuerliche Zahlen groesser 0, a/b b*c = (c/d)ad und abc * dad = bbc * cad.
Hieraus folgt abc = cad und bbc = da*d (Primfaktorzerlegung von a,b,c,d + Teilerfremdheit) und damit da a,c bzw. b,d in dieselben Primfaktoren mit evtl. unterschiedlichen Potenzen zerfallen. Genauer gilt:
a=prod1 p(i)a(i), b=prod1 p(i)b(i) c=prod1 p(i)c(i), d=prod1 p(i)d(i) Mit min(a(i),c(i))=0 => a(i)=c(i)=0 und min(b(j),d(j))=0 => b(j)=d(j)=0 (p(i) ist die i-te Primzahl a(i),b(i), etc. die entsprechende Potenz in der Primfaktorzerlegung). Vielleicht hat ja jmd. einen zündenden Einfall.