Zeichnerische Lösung: Schnittpunkt Ebene Gerade

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Euas, Russty, arthos+40, Alexiandra, Daniel Schaller, lili, Stanislaus de Vernschach, W.B.Yeats, Günter und Markus Hünig,

Ich habe Euch in Wer-Weiss-Was als Experten oder Fortgeschrittene für Geometrie gefunden.

Wie konstruiere ich im Raum zeichnerisch (Schrägbild) den Durchstosspunkt einer Geraden durch eine Ebene?

Berechnen kann ich den Durchstosspunkt (Gerade in Ebene einsetzen usw. => D(2/2/2)). Aber die zeichnerische Konstruktion gelingt mir nicht.

Was ich habe sind:

  • die 3 Projektionen der Gerade auf die Koordinaten-Ebenen (grünes Licht von vorn, blaues Licht von oben, rotes Licht von rechts (X1-Achse nach vorn, X2-Achse nach rechts, X3-Achse nach oben)).
  • die Schnittpunkte der „Schatten-Geraden“ mit den Spurgraden der Ebene,
  • die Spurpunkte der Ebene,
  • die Schnittpunkte der Schatten-Geraden mit der Raum-Geraden.
    Irgendwie bewege ich mich entweder nur auf der Ebene oder nur auf der Geraden. Deshalb finde ich wohl den Schnittpunkt zwischen Ebene und Geraden nicht :frowning:

Meine konkrete Aufgabe lautet:
E: (x1)/8+(x2)/8+(x3)/4=1
A(3/4/3)
B(5/8/5)
Durchstosspunkt D = ?
(Die Aufgabe liegt ganz im positiven „Raum-Quadranten“. Die symetrischen Koordinaten der Punkte erschweren, finde ich, eine allgemeine Vorgehensweise zu finden (die grüne und blaue Schatten-Gerade schneiden sich (bei (x2)=-2); sie könnten aber auch windschief sein)).

Gebt mir bitte eine möglichst anschauliche Antwort. Ich arbeite mich gerade erst wieder, nach 30-Jahren, in die Raum-Geometrie ein.

Mit Wer-Weiss-Was-freudigen Grüßen

mavoe

#2

hallo martin,

das verfahren dass du zum lösen der aufgabe benötigst nennt sich „angittern“ bzw „deckgerade“… ich weiss nicht ob du mit diesem begriff was anfängst, und es ist immer wieder eine herausforderung, geometrische aufgaben verbal zu lösen, ohne eine skizze machen zu können, aber ich werds einmal versuchen:

du hast geschrieben du hast die spurgeraden der ebenen.
wenn du jetzt zum beispiel in den grundriss schaust ( also bei dir blaues licht von oben), hast du dort zwei schnittpunkte deiner beiden spurgeraden (ich nenn sie e1 und e2) mit deiner blauen schattengerade(nenn ich g). nennen wir die beiden der einfachheit halber D1 (auf e1 geschnitten g) und D2 (liegt auf e2 geschnitten g).

nun bringst du diese beiden punkt mittels ordnern in den anderen riss (aufriss bei dir grünes licht von vorne). fixierst sie aber NICHT AUF g!!!
sondern D1 liegt auf der zu e1 entprechenden aufrissgerade, und D2 liegt auf der entsprechenden aufrissgerade zu e2.
wenn du diese beiden punkte nun verbindest und mit der grünen schattengerade g schneidest hast du den aufriss von deinem durchstosspunkt.
mittels ordnern kriegst du den grundriss auf g und den kreuzriss auf g.

also eigentlcih musst du nur 5 linien zeichnen :smile:

das prinzip das dahinterliegt ist folgendes: du musst dir vorstellen dass du die gegebene ebene anstelle mit der geraden g mit einer ebene schneidest, die projizierend liegt, also deren grundriss ident ist mit dem von g, und die die gleiche richtung hat wie dein blaues licht, also senkrecht auf die x1 x2 eben steht.
somit ist die blaue schattengerade nicht nur das bild dieser projizierenden ebene, sondern auch zugleich das bild der schnittgerade dieser proj. ebene mit deiner gegebenen ebene.

wenn du die beiden punkte D1 und D2 in den grünen riss bringst erhältst du eine gerade die in deiner gegebenen eben liegt. zugleich ist sie ja aber das aufrissbild der schnittgerade der proj. ebene mit der gegebenen ebene. somit liegen alle schnittpunkte aller geraden der projizierenden ebene mit der gegebenen ebene auf der grünen D1D2 geraden. also auch das bild von g geschnitten mit der gegebenen ebene. und du bist fertig :smile:

hoff du kennst dich aus!

rüße
liebe grüße
lili

#3

Wie konstruiere ich im Raum zeichnerisch (Schrägbild) den
Durchstosspunkt einer Geraden durch eine Ebene?

Was ich habe sind:

  • die 3 Projektionen der Gerade auf die Koordinaten-Ebenen
  • die Schnittpunkte der „Schatten-Geraden“ mit den Spurgraden
    der Ebene …
  1. Stelle die Projektion von g auf E her (parallel zur x3-Achse): a) Parallele zur x3-Achse durch den Schnittpunkt der Projektion von g in (x1,x2) mit der x1- oder x2-Achse (je nachdem, was im 1. Oktanten liegt; hier: x1). b) Diese schneidet die Spurgerade von E in (x1,x3) (bzw. sonst (x2,x3)) in Q. Verbinde Q mit dem Schnittpunkt der Projektion von g in (x1,x2) und der Spurgeraden von E in (x1,x2).
  2. Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der in 1 konstruierten Geraden mit dem Schrägbild von g.
    Konstruktion (als Euklid oder wmf) kann ich per Mail schicken, hier leider nicht möglich.
    Alles klar?
#4

Hallo lili,

heute um 10:51 Uhr schriebst Du als Wer-Weiss-Was-Benutzer mir mit dem gleichen Betreff:
…
L> das prinzip das dahinterliegt ist folgendes: du musst dir
L> vorstellen dass du die gegebene ebene anstelle mit der geraden
L> g mit einer ebene schneidest, die projizierend liegt
…
Huhu, das was! Jetzt habe ich es gesehen.
Vielen Dank für den Schupps und die schnelle und ausführliche Antwort.

Mit Wer-Weiss-Was-freudigen Grüßen

mavoe

#5

hi,

fein dass dir der sprichwörtliche knopf aufgegangen ist :smile:
wenn du weitere fragen hast- nur her damit!

liebe grüße
lili

#6

Hallo Markus Hünig

gestern um 18:56 Uhr schriebst Du als Wer-Weiss-Was-Benutzer mir mit dem gleiche Betreff:
…

  1. Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der in 1
    konstruierten Geraden mit dem Schrägbild von g.

Vielen Danke für Deine Antwort! Inzwischen hat sich, mit Hilfe eines anderen Wer-Weiss-Was-Benutzers meine Denkblockade gelöst :smile:

Mit Wer-Weiss-Was-freudigen Grüßen

mavoe

#7

Hallo Russty,

Die Ebene E hat die Schnittpunkte E1,E2,E3 mit den Achsen. A’B’ ist die senkrechte Projektion der Geraden AB auf die x1x2-Ebene. Stell Dir eine Ebene F durch AB parallel zur x3-Achse vor. Sie hat die Schnittgerade A’B’ mit der x1x2-Ebene. S1 sei der Schnittpunkt von A’B’ mit der x1-Achse und S2 der Schnittpunkt der Parallelen zur x3-Achse durch S1. S3 sei der Schnittpunkt von A’B’ mit E1E2. F hat S1, S2 und S3 mit der Ebene E gemeinsam. S2S3 ist die Schnittgerade von F mit E. Da A und B beide in F liegen, ist D der Schnittpunkt von AB mit S2S3.

Mit freundlichem Gruß
Euas

#8

Hallo Euas,

am 24.02.2011 13:32 schriebst Du als [email protected] mir mit dem gleichen Betreff:
…
E> Die Ebene E hat die Schnittpunkte E1,E2,E3 mit den
E> Achsen. A’B’ ist die senkrechte Projektion der Geraden
E> AB auf die x1x2-Ebene. Stell Dir eine Ebene F durch
E> AB parallel zur x3-Achse vor. Sie hat die Schnittgerade
E> A’B’ mit der x1x2-Ebene. S1 sei der Schnittpunkt
E> von A’B’ mit der x1-Achse

Soweit habe ich es verstanden.

E> und S2 der Schnittpunkt der Parallelen zur x3-Achse durch S1.

Hier fehlt, wie ich das verstehe „mit der Ebene E“.

E> S3 sei der Schnittpunkt von A’B’ mit E1E2.

Einverstanden.

E> F hat S1, S2 und S3 mit der Ebene E gemeinsam.

S2 und S3 verstehe ich, aber S1 liegt NICHT i.d. Ebene E.

E> S2S3 ist die Schnittgerade von F mit E.

Einverstanden.

E> Da A und B beide in F liegen, ist D der Schnittpunkt
E> von AB mit S2S3.
…
Vielleicht wäre „Da S2S3 ganz in E liegt muß der Schnittpunkt zwischen S2S3 und AB der Durchstoßpunkt D sein“ eine bessere Begründung.

Deine Antwort ist die Dritte, die ich erhalte habe. Sie ist die erste wirklich anschauliche - vielen Dank! Da mir nur noch ein kleiner „Schubs“ gefeht hat, bin ich schon durch die Hinweise aus der ersten Antwort auf die Lösung gekommen.

Mit Wer-Weiss-Was-freudigen Grüßen

mavoe