Hallo, wie ist den für z€C mit Hilfe der Formel von Euler und de Moivre zu zeigen, dass gilt cos(z) = ((e^(iz))+(e^(-iz)))/2 und sin(z)=((e^(iz))-(e^(-iz)))/2i ?
Bitte um Hilfe, danke im voraus!
lg Daniel
Hallo.
Du benötigst die folgenden Formeln:
e^(iz)=cos(z)+i*sin(z) (Formel von Euler)
e^(-iz)=cos(z)-i*sin(z)
Einsetzen und alles passt.
Für was man den de Moivre hier verwenden soll liegt mir fern.
cos(z) = ((e^(iz))+(e^(-iz)))/2
und sin(z)=((e^(iz))-(e^(-iz)))/2i ?
Bitte um Hilfe, danke im voraus!
Aber bitte doch.
Liebe Grüße.
Alex
Hallo,
die Arbeit zur Lösung dieser banalen Aufgabe erschöpft sich in simpler Termumformerei. Du solltest Dich (in Deinem Interesse) noch mehr bemühen, sowas vielleicht selbst hinzukriegen.
ei z + e–i z
z = a + i b
= ei (a + i b) + e–i (a + i b)
= ei a – b + e–i a + b
= e–b ei a + eb ei (–a)
ei x = cos(x) + i sin(x)
= e–b (cos(a) + i sin(a)) + eb (cos(–a) + i sin(–a)
= e–b (cos(a) + i sin(a)) + eb (cos(a) – i sin(a)
= e–b (c + i s) + eb (c – i s)
= c (eb + e–b) – i s (eb – e–b)
B := –i b
= c (ei B + ei (–B)) – i s (ei B – ei (–B))
= c (cos(B) + i sin(B) + cos(–B) + i sin(–B)) – i s (…)
= c (cos(B) + i sin(B) + cos(B) – i sin(B)) – i s (…)
= c 2 cos(B) – i s 2 i sin(B)
= 2 (c cos(–i b) + s sin(–i b))
= 2 (cos(a) cos(i b) – sin(a) sin(i b))
[Additionstheorem cos(x + y) = …]
= 2 cos(a + i b)
= 2 cos(z)
Gruß
Martin