Hallo, ich soll bei einer vorliegenden Aufgabe zeigen mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für die Determinante der Matrix An (also das n als Index), mit
( 1 0 … 0 bn )
( 0 1 … 0 bn-1)
An = ( . . … . . )
( 0 0 … 1 b2 )
( cn cn-1 … c2 1 )
det An = 1 - b2c2 - … - bncn gilt.
Wie gehe ich hier vor, vollständige Induktion ist jetzt sowieso nicht unbedingt mein Lieblingsthema ?
Danke für Hilfe im voraus lg Daniel!!
Hallo,
Wie gehe ich hier vor
da die vollständige Induktion eine sehr wichtige Beweismethode ist, musst Du sie beinhart drauf haben. Es führt kein Weg daran vorbei, wenn Du Dich ernsthaft mathematisch betätigen willst. Etwaige Abneigungen solltest Du deswegen am besten schnell vergessen. Nimm Dir Zeit und lies in Deinem Mathelehrbuch das zugehörige Kapitel durch. Wenn Du das Prinzip verstanden hast, schau Dir Beispiele – erst einfache, dann schwierigere – dazu an und vollzieh sie nach. Rechne eigenständig Übungsaufgaben, bis Du glaubst, das Verfahren zu beherrschen. Hast Du mit Irgendetwas ein konkretes Problem, frag hier nach, und man wird Dir gerne helfen. Sobald Du Dich gelangweilt fühlst, weil Du alles als „eigentlich ganz easy“ empfindest, darfst Du aufhören und Dich über den neu erworbenen Skill freuen.
Außer der vollständigen Induktion benötigst Du für Deine Aufgabe noch den sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatz. Er ist das geeignete Werkzeug, um die nötigen Determinanten zu berechnen. Nähere Informationen darüber findest Du im Kapitel „Determinanten“ Deines Lineare-Algebra-Buchs.
Gruß
Martin
Hallo, bei mir ist es eher so, also ich weiss wie die vollständige Induktion geht, und auch die Berechnung von Determinanten kann ich in und auswendi, also da gibt es gar keine Probleme!!! Das Problem jedoch ist eher wie ich hier anfangen soll ich kann hier ja schlecht zunächst für n = k setzen und danach n = k+1!!! es fehlt mir einfach der Anfang!!! Und deshalb bitte ich nochmals um Tipps!!
Danke
lg Daniel
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wie ich hier anfangen soll ich kann hier ja schlecht zunächst
für n = k setzen und danach n = k+1!!!
„n = k setzen“?
Zeig
det(A2) = 1 – b2 c2
als Induktionsanfang und
det(An+1) = 1 – b2 c2 – … – bn cn – bn+1 cn+1
als Induktionsschritt, wobei Du die Induktionsvoraussetzung
det(An) = 1 – b2 c2 – … – bn cn
verwenden darfst. Einverstanden? Mehr musst Du doch nicht tun.
Viel Glück.
Hi, danke für deinen Tipp!!!
Aber wie muss ich dann die gepunkteten Bereiche berücksichtigen bzw. wie rechne ich damit? dort stehen ja auch zahlen, die man nicht kennt und man nicht weiss wieviele !!!
Wende ich trotzdem einfach den Entwicklungssatz an z.B. nach der ersten Spalte und schreibe alles auf, auch die Punkte?
lg Daniel
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Aber wie muss ich dann die gepunkteten Bereiche
berücksichtigen bzw. wie rechne ich damit?
„0 ········ 0“ bedeutet, dass zwischen der Null am Anfang und der am Ende lauter Nullen stehen, in passender Anzahl. „1 ········ 1“ entsprechend. Und wie z. B. „x_1 ········ x_n“ zu interpretieren ist, sollte auch klar sein, oder?
dort stehen ja auch
zahlen, die man nicht kennt und man nicht weiss wieviele !!!
Sicher kennt man die (s. o.) und wieviele es sind, weiß man auch ganz genau. Beispielsweise stehen in der ersten Zeile der Matrix zwischen der 1 links und dem bn rechts genau n – 2 Nullen.
( 1 0 0 0 ························· 0 b\_n )
( )
( 0 1 0 0 ························· 0 b\_n-1 )
( )
( 0 0 1 0 ························· 0 b\_n-2 )
( )
( 0 0 0 1 0 ···················· 0 b\_n-3 )
( )
( · · · 0 1 · · )
A\_n = ( · · · · · · )
( · · · · · · · )
( · · · · · · · )
( · · · · · · · )
( · · · · · )
( · · · · 1 0 b\_3 )
( )
( 0 0 0 0 ··················· 0 1 b\_2 )
( )
( c\_n c\_n-1 c\_n-2 c\_n-3 ··················· c\_3 c\_2 1 )
Wende ich trotzdem einfach den Entwicklungssatz an z.B. nach
der ersten Spalte
Das ist schon mal keine schlechte Idee.
Gruß
Martin
Hi, also mit A2 das ist klar der Induktionsanfang, aber dann!! dass ich zeigen muss 1 - b2c2 - … - bncn ist klar, aber wie! Wie soll ich hier den Entwicklungssatz anwenden, irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig!!
Bitte nochmals um Hilfe!!!
lg Daniel
An ist vorgegeben. Überleg Dir wie An+1 aussieht, und dann berechne det(An+1) über den Laplaceschen Entwicklungssatz. Sobald Du det(An+1) = det(An) – bn+1 cn+1 auf dem Papier stehen hast, ist die Aufgabe gelöst (klar?).
Gute Nacht.
Hi, das ist ja gerade mein Problem, dass ich nicht weiss wie ich hier rangehe mit dem Entwicklungssatz, die Matrix ist doch viel zu groß!!! Wenn ich z.B. sage ich entwickle nach der ersten Spalte, dann kann ich das ja bis ins unendliche führen! Wie komme ich denn auf die Determinante genau?
lg Daniel
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die Matrix ist doch viel zu groß!!!
Ja, aber wegen der Tatsache, dass die meisten Zeilen und Spalten fast nur Nullen enthalten, ist die Berechnung der Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz bei dieser Matrix trotz ihrer Größe ein Klacks. Ausprobieren!
Gruß
Martin
So, ok
also ich habs jetzt mal versucht die An+1, nach der ersten Spalte zu entwickeln, dann steht zu nächst da:
(1 … 0 bn ) (0 … 0 bn+1)
( ) (1 … 0 bn )
1* (0 … 1 b2 ) - cn+1 *( )
(cn … c2 1 ) (0 … 1 b2 )
(1 … 0 bn-1) (0 … 0 bn )
( ) (1 … 0 bn-1)
= 1*1*(0 … 1 b2 ) -cn+1 *(-cn)* ( )
(cn-1 … c2 1 ) (0 … 1 b2 )
aber so komm ich doch nicht auf die richtige Determinante? was mach ich falsch?
lgDaniel
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So, ok
also ich habs jetzt mal versucht die An+1, nach der ersten
Spalte zu entwickeln, dann steht zu nächst da:
(1 … 0 bn )
( )
1* (0 … 1 b2 )
(cn … c2 1 )
(0 … 0 bn+1)
(1 … 0 bn )
(1 … 0 bn-1)
( )
= 1*1*(0 … 1 b2 )
(cn-1 … c2 1 )
(0 … 0 bn )
(1 … 0 bn-1)
-cn+1 *(-cn)* ( )
(0 … 1 b2 )
aber so komm ich doch nicht auf die richtige Determinante? was
mach ich falsch?
lgDaniel
die Matrix ist doch viel zu groß!!!
Ja, aber wegen der Tatsache, dass die meisten Zeilen und
Spalten fast nur Nullen enthalten, ist die Berechnung der
Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz bei
dieser Matrix trotz ihrer Größe ein Klacks.
Ausprobieren!Gruß
Martin
Hallo kann ich das denn auch mit der allgemeinen Formel für den Laplaceschen Entwicklungssatz zeigen?
Also detA = Summe von Zeile i = 1 bis n (-1)^(i+j) * aij * det Aij
(Entwicklung nach der j-ten Spalte)
ich komm echt nicht auf den Punkt
lg Daniel
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also ich habs jetzt mal versucht die An+1, nach der ersten
Spalte zu entwickeln, dann steht zu nächst da:(1 … 0 bn )
( )
1* (0 … 1 b2 )
(cn … c2 1 )(0 … 0 bn+1)
(1 … 0 bn )
- cn+1 *( )
(0 … 1 b2 )
Richtig (bis auf einen kleinen Schönheitsfehler).
( 1 ... 0 bn ) ( 0 ... 0 bn+1 )
( ) ( 1 ... 0 bn )
det(An+1) = 1 \* det( ) - cn+1 \* det( )
( 0 ... 1 b2 ) ( )
( cn ... c2 1 ) ( 0 ... 1 b2 )
Wenn Du Dich daran erinnerst, dass Du
det(An+1) = det(An) – bn+1 cn+1
zeigen willst, macht Dein Zwischenergebnis doch eine gute Figur, oder nicht?
Alles, was Du noch zu tun hast, ist
( 0 ... 0 bn+1)
( 1 ... 0 bn )
det( )
( )
( 0 ... 1 b2 )
auszurechnen (Entwicklung nach…?).
Zum Schönheitsfehler noch: Das „-“ vor dem cn+1 ist nicht immer ein Minus, sondern kann auch ein Plus sein. Wann Minus, wann Plus? Selbst überlegen! Aber in der zu zeigenden Gleichung steht immer ein Minus vor dem bn+1 cn+1. Warum? Auch selbst überlegen!
Gruß
Martin
Hi
Alles, was Du noch zu tun hast, ist
( 0 … 0 bn+1)
( 1 … 0 bn )
det( )
( )
( 0 … 1 b2 )auszurechnen (Entwicklung nach…?).
die entwickle ich nach der letzten Spalte oder? dann hab ich nämlich immer die b Werte dastehen!
Zum Schönheitsfehler noch: Das „-“ vor dem cn+1 ist nicht
immer ein Minus, sondern kann auch ein Plus sein. Wann Minus,
wann Plus? Selbst überlegen! Aber in der zu zeigenden
Gleichung steht immer ein Minus vor dem bn+1
cn+1. Warum? Auch selbst überlegen!
ob minus oder plus ergibt sich doch daher, weil die Matrix wie ein Schachfeld aufgebaut ist für die entweder + oder - gilt!
lg Daniel
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Nee besser ich entwickle nach der ersten Zeile, dann fallen die ganzen Nullen weg und ich hab nur noch bn+1 !!
cool und das wars scon? hab ich das mit den vorzeichen so richtig verstanden? die matrix ist doch wie ein schachfeld aufgebaut für jedes feld gilt ein anderes vorzeichen + oder - immer abwechselnd!!
lg Daniel
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Nee besser ich entwickle nach der ersten Zeile, dann fallen
die ganzen Nullen weg und ich hab nur noch bn+1 !!
Soso… 
Ja, man sollte sich beim Laplace-Entwickeln immer Zeilen oder Spalten raussuchen, in denen möglichst viele Nullen stehen. Je mehr Nullen, desto vorteilhafter wirds.
cool und das wars scon? hab ich das mit den vorzeichen so
richtig verstanden? die matrix ist doch wie ein schachfeld
aufgebaut für jedes feld gilt ein anderes vorzeichen + oder -
immer abwechselnd!!
Das ist völlig richtig. Das Problem ist, dass das unterste Element der ersten Spalte von An+1, also das cn+1, je nach dem Wert von n (kannst Du es noch präziser sagen?) sowohl auf einem Plus- als auch auf einem Minus-Feld liegen kann. Wenn Du den Term „cn+1 * det(…)“ einfach mit „–“ Minus verrechnest, ignorierst Du das. Wie gehts richtig? Und warum ergibt sich für die zu beweisende Gleichung doch immer ein Minus? Selbst überlegen!
Bitte sags mir doch, ich sitz jetzt schon solange vor der Aufgabe!! Wo bekomme ich überhaupt das 1 - her? hat es damit was zu tun?
lg Daniel
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ich sitz jetzt schon solange vor der Aufgabe!!
Darf ich mal ganz geradeheraus zu Dir sein: Es ist ziemlich offensichtlich, dass Deine Aufgaben Dich schlicht überfordern, und das nicht zu knapp. Wieso und mit welchem Ziel bist Du mit so vielen Aufgaben konfrontiert, die zehnfach zu schwierig für Dich sind? Was für einen Sinn soll das geben?
Was die Sache mit dem Plus und dem Minus angeht: Bei geradem n sitzt cn+1 auf einem Minus-Platz, wohingegen bn+1 dann garantiert auf einem Plus-Platz sitzt. Also:
det(An+1) = det(An) – cn+1 · (+bn+1) falls n gerade
Bei ungeradem n ist es umgekehrt: cn+1 sitzt auf einem Plus-Platz und bn+1 auf einem Minus-Platz. Also:
det(An+1) = det(An) + cn+1 · (–bn+1) falls n ungerade
Beide Ausdrücke sind aber gleich, somit ist
det(An+1) = det(An) – bn+1 cn+1 für alle n
Wo bekomme ich überhaupt das 1 - her?
det(An) darfst Du durch 1 – b2 c2 – … – bn cn ersetzen, weil das die Induktionsvoraussetzung ist. Dann steht da
det(An+1) = 1 – b2 c2 – … – bn cn – bn+1 cn+1
womit Du den Induktionsschritt gezeigt hast. Dadurch wiederum ist die Richtigkeit der Induktionsvoraussetzung nachgewiesen. Prinzip der vollständigen Induktion halt.
Gruß
Martin