Hallo,
a_n=(1+1/n)^(n+1). Wie kann man nun zeigen, dass diese Folge streng monoton fallend ist?
Ich hab schon versucht zu zeigen, dass der Quotient aus dem Folgeglied von n immer größer 1 sein muss, indem ich erstmal die Basis angeglichen habe und somit abgeschätzt, aber das ist wohl zu grob.
Irgendwie soll das auch mit Bernoulli gehen.
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
Viele Grüße
Tim
Hallo,
eine funktion ist genau dann streng monoton fallend, wenn gilt :
a_n > a_n+1
Für deine Folge würde das bedeuten, dass (1+1/n)^(n+1) > (1+1/n+1)^(n+2)
Da das aber schwer umzuformen ist kann man es sich auch durch den
limes(a_n) für n gegen Unendlich erschließen.
In deinem Fall geht a_n gegen 1.
Da man weiß, dass 1/n für n gegen unendlich gegen null geht und weil 1 konstant ist, weiß man, dass die Folge a_n streng monoton fallend ist.
Gruß basti
Hallo =)
Also einen Trick hätte ich noch anzubieten
Man bilde aus a_n=(1+1/n))^(n+1) eine Funktion f(x)=(1+1/x)^(x+1) (man geht von den natürlichen Zahlen über zu den reellen Zahlen). Diese kann man ableiten, ergibt f’(x)=(1+1/x)^(x+1)*(ln(1+1/x)-(x+1)/(x^2*(1+1/x))) das ist zwar nicht schön, aber immerhin etwas.
Nun muss man „nur“ noch nachweisen, dass f’(x) für x>0 (oder x>=1 ?) immer negativ ist.
Also muss nachgewiesen werden, dass (ln(1+1/x)-(x+1)/(x^2*(1+1/x)))
hi,
a_n=(1+1/n)^(n+1). Wie kann man nun zeigen, dass diese Folge
streng monoton fallend ist?
zu zeigen:
a(n-1) > a(n) für alle n
damit wir nenner = 0 usw. ausschließen können, rechnen wir uns das für ersten paar n mal aus. ist gegeben.
also: n genügend groß.
dann bedeutet
a(n-1) > a(n)
(1+1/(n-1))^n > (1+1/n)^(n+1) = (1+1/n)^n * (1+1/n)
(1+1/(n-1))^n / (1+1/n)^n > 1 + 1/n
(n/(n-1))^n / ((n+1)/n)^n > 1 + 1/n
(n^n * n^n) / ((n-1)^n * (n+1)^n) > 1 + 1/n
(n² / (n²-1))^n > 1 + 1/n
((n²-1)+1)/(n²-1))^n > 1 +1/n
[U]:
1 + 1/(n²-1))^n > 1 + 1/n
es gilt aber (binomischer lehrsatz):
(1 + 1/(n²-1))^n > 1 + n* 1/(n²-1) = 1 + n/(n²-1)
denn wir lassen beim auspotenzieren ausschließlich positive summanden weg.
wenn also
1 + n/(n²-1) > 1 + 1/n ist, gilt auch [U]
n/(n²-1) > 1/n
n² > n² - 1
q.e.d.
hth
m.
Hi
In deinem Fall geht a_n gegen 1.
Ich würde eher denken a_n geht gegen e! 
MfG IGnow
moin;
e! ? nee, e reicht schon 
mfG
P.S. Besonders in mathematischen Zusammenhängen die Verwendung von Satz- und/oder Sonderzeichen vorsichtig genießen
Man könnte auch zeigen, dass die Steigung der Funktion negativ ist.
Also Ableitung bilden und sagen, dass sie
Man könnte auch zeigen, dass die Steigung der Funktion negativ
ist.
Also Ableitung bilden und sagen, dass sie