Die Formel für die kinetische Energie hat mich schon immer etwas fasziniert; immerhin muss man für das Erreichen einer gewissen Geschwindigkeit je nach Bezugssystem verschieden viel Energie aufwenden (wegen dem v^2)
Was passiert aber nun, wenn ich einen Motor auf konstante Leistung einstelle; wenn ich eine vorgegebene Strecke hab und ausrechnen will, wie lange man dafür braucht (wenn die kinetische Energie also mit der Leistung P stetig erhöht wird)?
Ich habs so gemacht:
P=mav (ist ja bekannt), also: P=m*(dv/dt)*v
wird zu:
P/m*dt = v*dv integrieren liefert: v=WURZEL(2*P*t/m)
mit v=ds/dt wird das zu s=v*dt und einsetzen und erneutes integrieren und umformen liefert:
t=( (9*m*s^2)/(8*P) )^(1/3)
Was passiert aber nun, wenn ich einen Motor auf konstante
Leistung einstelle; wenn ich eine vorgegebene Strecke hab und
ausrechnen will, wie lange man dafür braucht (wenn die
kinetische Energie also mit der Leistung P stetig erhöht
wird)?
ist die leistung konstant oder nicht?
Ich habs so gemacht:
P=mav (ist ja bekannt), also: P=m*(dv/dt)*v
wird zu:
P/m*dt = v*dv integrieren liefert: v=WURZEL(2*P*t/m)
mit v=ds/dt wird das zu s=v*dt und einsetzen und erneutes
integrieren und umformen liefert:
t=( (9*m*s^2)/(8*P) )^(1/3)
korrektur:smile:andere mail bitte ignorieren…
sorry…blamabler fehler:smile:
hallo joachim,
was meinst du mit dem satz
Was passiert aber nun, wenn ich einen Motor auf konstante
Leistung einstelle; wenn ich eine vorgegebene Strecke hab und
ausrechnen will, wie lange man dafür braucht (wenn die
kinetische Energie also mit der Leistung P stetig erhöht
wird)?
ist die leistung konstant oder nicht?
Ich habs so gemacht:
P=mav (ist ja bekannt), also: P=m*(dv/dt)*v
wird zu:
P/m*dt = v*dv integrieren liefert: v=WURZEL(2*P*t/m)
mit v=ds/dt wird das zu s=v*dt und einsetzen und erneutes
integrieren und umformen liefert:
t=( (9*m*s^2)/(8*P) )^(1/3)
Wenn dP/dt = 0 (in Worten: „P ist zeitlich konstant“), dann muß Wkin(t) eine lineare Funktion von t sein, mit P als „Steigung“:
Wkin(t) = Wkin(0) + P t
==> 1/2 m v² = 1/2 m v0² + P t
==> v²(t) = v0² + 2 P/m t
Def. P/m =: k („Konstante des Problems“)
==> v(t) = sqrt(v0² + 2 k t)
Die zu diesem v(t) passende Weg-Zeit-Funktion x(t) muß so aussehen…
x(t) = 1/(3 k) (v0² + 2 k t)^(3/2) + C
…denn das ist das allgemeinste x(t), dessen Ableitung gleich dem obigen v(t) = sqrt(v0² + 2 k t) ist.
Wählst Du als Anfangsbedingung x(t=0) = 0, ergibt sich daraus die Integrationskonstante C zu C = –1/(3 k) v0³.
==> x(t) = 1/(3 k) ((v0² + 2 k t)^(3/2) – v0³)
Auflösung nach t liefert als Umkehrfunktion
t(x) = 1/(2 k) ((3 k x + v0³)^(2/3) – v0²)
die sich für den Sonderfall v0 = 0 vereinfacht zu
t(x) = 1/(2 k) (3 k x)^(2/3)
Dieser Ausdruck ist äquivalent zu Deinem ( (9*m*s^2)/(8*P) )^(1/3).
(bei Bedarf bitte selbst nachprüfen via Ersetzen von k durch P/m und geeignetes Umformen.)
v = s/t gilt nur für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (genaugenommen sogar nur für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, bei der sich der Körper zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe befindet), die hier nicht vorliegt/vorausgesetzt werden kann. Deshalb kannst Du Deine Rechnung – sorry – vergessen.
da ihr schon alles geloest habt, brauch ich nur noch erwaehnen, dass du geschrieben hattest, dass du den motor auf konstante leistung stellst…die leistung ist nicht konstant, wenn es beschleunigt.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ja, der powert mit konstanter Leistung, und was daraus folgt, habe ich vorgerechnet. Ergänzend dazu: Bei dP/dt = 0 ergibt sich für die Anfangsbedingung v0 = 0 die Geschwindigkeit zu v(t) = sqrt(2 k t), und daraus folgt, daß das Fahrzeug gemäß a(t) = dv/dt = 1/2 sqrt(2 k/t) beschleunigt (man staune: a(t) divergiert für t –> 0!).
Damit sollten alle Fragen beantwortet sein.
die leistung ist nicht konstant, wenn es beschleunigt.
Zumindest ist die _Geschwindigkeit_ nicht konstant, wenn es beschleunigt.
Danke - auch für die Korrektur
Hey, das ging ja fix;
Danke für die Bestätigung;
Das mit der konstant erhöhten Leistung war natürlich Blödsinn; eigentlich wollte ich schreiben, dass die kinetische Energie gleichmäßig erhöht wird…
ehm…und wenn das auto mit konst. v faehrt, ist die leistung dann etwa null oder faellt sie?..dachte, dann ist sie konstant…irgendwie versteh ich das grad nicht…
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ja, der powert mit konstanter Leistung, und was daraus folgt,
habe ich vorgerechnet. Ergänzend dazu: Bei dP/dt = 0 ergibt
sich für die Anfangsbedingung v0 = 0 die Geschwindigkeit zu
v(t) = sqrt(2 k t), und daraus folgt, daß das Fahrzeug gemäß
a(t) = dv/dt = 1/2 sqrt(2 k/t) beschleunigt (man staune: a(t)
divergiert für t –> 0!).
Genau genommen divergiert a(t) für v(t) -> 0, was nur aufgrund Deiner Anfangsbedingung gleichwertig ist. Das ist auch anschaulich klar, weil der Antrieb bei sehr geringen Geschwindigkeiten die vorgegebene Leistung P = v * F nur über eine exorbitant große Antriebskraft leisten könnte. Für beliebige Anfangsbedingungen muß also eine Definitionslücke um den Bereich v(t) = 0 festgelegt werden, damit ein physikalisch sinnvolles Ergebnis herauskommt.
ehm…und wenn das auto mit konst. v faehrt, ist die leistung
dann etwa null oder faellt sie?
System reibungsfrei –> Leistung Null; System reibungsbehaftet –> Leistung konstant (bei v = const wird dann die Leistung vollständig dazu aufgebracht, die Reibungsverluste zu kompensieren). Das System in Joachims Problem soll als reibungs_frei_ idealisiert werden.
noch was:smile:
ich denke, wenn unser fragesteller die leistung konstant stellt, meint er damit, dass er quasi einen ziegelstein aufs gaspedal legt und bei 4000u/min(oder so) losfaehrt.
wenn er genau das meint, dann:
ist die leistung in diesem fall alles andere als konstant. das auto muss naemlich ausser dem luftwiderstand(ohne luft kein autofahren) und der reibung der raeder die eigene traegheit „kompensieren“.
also geht die drehzahl erstmal runter und dann wieder hoch, genau wie die leistung.
aber um auf euer beispiel bezug zu nehmen…
in der formel 1 wurde es schon geschaft, mit konstanter drehzahl/leistung loszufahren…aber wieder verboten(wegen ungerechtigkeit:smile:)
die fragestellung haette lauten muessen: ein (sauteurer)leistungsgeregelter formel-1-renault startet mit kostanter leistung. nach wieviel sekunden ueberholt er noch vor der ersten kurve ferrari, mercedes und bmw, wenn er aus der 10. reihe startet?
mfg
rene
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
ich denke, wenn unser fragesteller die leistung konstant
stellt, meint er damit, dass er quasi einen ziegelstein aufs
gaspedal legt und bei 4000u/min(oder so) losfaehrt.
Beantwortet werden soll die Frage, wie sich ein Fahrzeug unter den Voraussetzungen 1.) Leistung des Antriebsaggregats konstant, 2.) System reibungsfrei, bewegen würde. Nicht beantwortet werden soll die Frage, wie man diese Voraussetzungen konkret realisieren könnte, wie weit diese Voraussetzungen für irgendein reales Fahrzeug zutreffen, welches reale Fahrzeug diese Voraussetzungen am weitesten erfüllt, und wie teuer dieses Fahrzeug ist.
(ohne luft kein autofahren)
???
die fragestellung haette lauten muessen:
Deine Mühen in Ehren, aber an der ursprünglichen Frage gibt es nichts auszusetzen.
Genau genommen divergiert a(t) für v(t) -> 0, was nur
aufgrund Deiner Anfangsbedingung gleichwertig ist. Das ist
auch anschaulich klar, weil der Antrieb bei sehr geringen
Geschwindigkeiten die vorgegebene Leistung P = v * F nur über
eine exorbitant große Antriebskraft leisten könnte.
stimmt, klar.
Für beliebige Anfangsbedingungen muß also eine Definitionslücke um
den Bereich v(t) = 0 festgelegt werden, damit ein physikalisch
sinnvolles Ergebnis herauskommt.
Oder andersrum: Man kann daraus folgern, daß jeder wie auch immer geartete Leistungsregelungsmechanismus, der dafür sorgt, daß einem Fahrzeug stets eine gleichbleibende Leistung _entzogen_ wird, unterhalb einer bestimmten Geschwindigkeit versagen muß (weil die Kraft nicht beliebig groß werden kann). Also wie bei Spannungsreglern: Jeder Sp.regler muß einen Grenzwert für seinen Lastwiderstand haben, unterhalb dessen er versagt, weil der Strom nicht beliebig groß werden kann.
du bist der erste hier, der den konjunktiv benutzt. da sieht die sache schon anders aus. so wie der fragesteller es formulierte, war es anders…und physiker sind immer sehr kurz, deutlich und direkt, was fragestellungen angeht…
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Nicht beantwortet werden soll die Frage, wie man diese
Voraussetzungen konkret realisieren könnte, wie weit diese
Voraussetzungen für irgendein reales Fahrzeug zutreffen,
welches reale Fahrzeug diese Voraussetzungen am weitesten
erfüllt, und wie teuer dieses Fahrzeug ist.
Hi
Dazu eine Anmerkung:
Immer öfter werden umrichtergespeiste Elektromotoren im Industrie- & Bahnbereich oberhalb der Nenndrehzahl im sog. Feldschwächbereich betrieben. Hierbei bleibt die Leistung konstant, während die Drehzahl weiter erhöht wird. Die höhere Drehzahl erkauft man sich allerdings dann mit entsprechend hyperbolisch sinkendem Moment des Motors. In Abhängigkeit von der Motorkonstruktion und der angeschlossenen Last lässt sich so durchaus eine Erhöhung der Drehzahl um Faktor 10 erreichen (=> Moment dann 1/10 Nennmoment).
Es gibt also schon Motoren, die bei konstanter Leistung beschleunigen. Allerdings halt nicht bei 0 beginnend …
Wie’s bei Verbrennungsmotoren aussieht, weiß ich nicht.
Soweit mal zur Existenz solcher Maschinen! Preislich dürften solche Geräte für den Privatmenschen zu teuer sein, im Industriebereich scheint es sich an etlichen Stellen zu lohnen.
Gruß
peherr
die leistung ist nicht konstant, wenn es beschleunigt.