Nur mit der SRT kannst du das deshalb nicht betrachten, auch hier
müsstest du die ART mit hinein nehmen.Das geht auch allein mit der SRT. Das ist nur etwas
komplizierter als im Inertialsystem.Könntest du das näher erläutern, vielleicht an dem Beispiel
der Kreisbahn?
Selbst gemacht hab’ ich das bisher noch nie und eine Kreisbahn ist mir viel zu kompliziert, weil es sich um eine Bewegung in zwei Dimensionen handelt. Der eindimensionale Fall ist für meinen Geschmack schon schlimm genug. Der Trick besteht darin, das Ganze im Inertialsystem zu beschreiben und das dann in das Nicht-Inertialsystem zu transformieren. Ich versuch’ das mal für den eindimnsionalen Fall herzuleiten:
Sei K ein Inertialsystem, das der Einfachheit halber als ruhend angenommen wird und K’ ein gegenüber K bewegtes Bezugssystem. In beiden Bezugssystemen ruhen die Uhren U und U’ jeweils im Koordinatenursprung. Zu Beginn des Experimentes befinden sich beide Uhren am gleichen Ort xo=xo’=0 und zeigen die gleichen Zeit an. Das System K wird so bewegt, dass sich die beiden Uhren am Ende des Experimentes wieder am selben Ort befinden. Gesucht ist die Differenz der Anzeigen to der ruhenden Uhr U und t’ der bewegten Uhr U’ am Ende des Experimentes aus Sicht beider Bezugssysteme.
Im Inertialsystem K ist die Sache einfach. Hier muss nur
dt’/dt = sqrt(1-v²)
über die Zeit t=to integriert werden. Dabei ist v die (zeitabhängige) Geschwindigkeit der bewegten Uhr.
Im beschleunigten System K’ ist die Situation komplizierter, weil Lorentz-Transformation streng genommen nur für Inertialsysteme gilt. Zerlegt man die beschleunigte Bewegung allerdings in unendlich viele infinitesimale geradlinig gleichförmige Intervalle, kann die SRT trotzdem verwendet werden. Dann gilt für die Anzeige der in K zum Zeitpunkt t am Ort x mit der Geschwindigkeit v bewegten Uhr U’
t’ = (t-v·x)/sqrt(1-v²) + Δt
wobei Δt eine zunächst unbekannte Zeitdifferenz ist. Für eine in K’ ruhende und mit U’ synchrone Uhr gilt gleichzeitig
t’ = (to-v·xo)/sqrt(1-v²) + Δt
wenn sie sich in K zum Zeitpunkt to durch den Koordinatenursprung bewegt. Daraus folgt aus Sicht von K’ für die Anzeigen t von bliebigen, in K am Ort x ruhenden und mit U synchronen Uhren
to = t-v·x
Die Ableitung nach der Zeit t des ruhenden Systems am Ort x ergibt zunächst
dto/dt = 1 - v² - a·x
Wegen der Zeitdilatation
dt’ = dt·sqrt(1-v²)
und der Längenkontraktion
x’ = -x·sqrt(1-v²)
sowie
a’ = dv’/dt’ = -[dv/dt]/sqrt(1-v²) = -a/sqrt(1-v²)
folgt daraus schließlich der differentiale Gangunterschied zwischen den Uhren U und U’ aus Sicht des bewegten Beobachters
dto/dt’ = [dto/dt]/[dt/dt’] = [1-v²-a·x]/sqrt(1-v²) = [1-v’²-a’·x’]/sqrt(1-v’²)
Auch das muss nun wieder über die Zeit t’ (diesmal des bewegten Systems) integriert werden, um den Gangunterschied am Ende des Experimentes zu berechnen. Die dafür notwendigen Funktionen x’(t’), v’(t’) und a’(t’) können durch Lorentztransformation aus dem für K vorgegebenen Pfad berechnet werden.
Ist der bewegte Beobachter unbeschleunigt, dann entspricht das Ergebnis der allseits bekannten Zeitdilatation
dto = dt’·sqrt(1-v²)
Während der Beschleunigungsphasen sieht das aber anders aus. Beispielsweise läuft die ruhende Vergleichsuhr für
a