Zeitmessung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

angenommen ich habe eine Strecke, die s=100km lang ist. Nun gibt es vier Durchläufe:

  1. v=100km/h, t=1h
  2. v=50km/h, t=2h
  3. v=25km/h, t=4h
  4. v=12,5km/h, t=8h

Jetzt möchte ich meine Durchschnittsgeschwindigkeit der vier Durchläufe berechnen.

Das könnte ich doch entweder so berechnen (finde ich am naheliegendsten):
(100+50+25+12,5)km/h / 4 = 46,875km/h

Oder aber über die durchschnittliche Zeit, die ich gebraucht habe, nicht?
(1+2+4+8) / 4 = 1,875h

v = s/t = 100km/1,875h = 53,3333km/h

Jetzt krieg ich nicht dasselbe raus, welche Lösung ist denn richtig und vor allem: warum? Und warum ist die andere falsch?

Gruß und danke
Steffie

#2

Hallo,

wie Geschwindigkeit definiert ist geht aus km/h hervor.
v = s/t = Weg/Zeit

Wie viel Weg/Strecke hast Du in welcher Zeit absolviert?
dann Division weg/Zeit = 26,66666667 km/h

#3

Hi,

ja, v=s/t verstehe ich… aber wie sieht’s beim Durchschnitt aus?

Danke und Gruß
Steffie

#4

Hallo,

aber wie sieht’s beim Durchschnitt aus?

man kann einen Durchschnitt auf mehr als eine Art bilden. Im einen Fall rechnest Du den arithmetischen Mittelwert der Geschwindigkeiten aus, im anderen Fall ihren harmonischen Mittelwert.

Im Wikipedia-Artikel zum Stichwort Mittelwert findest Du gleich zu Anfang eine Tabelle, aus der die mathematischen Definitionen dieser und noch einiger weiterer Mittelwerte hervorgehen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert

Gruß
Martin

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#5

Hallo Steffie,

bei Deiner Rechnung geht nicht ein, dass die angegebenen Durchschnittsgeschwindigkeiten für unterschiedliche Zeiträume gelten. Deine Rechnung würde nur bei gleichen Zeiten gelten.

Berechne für jeden Zeitabschnitt die zurückgelegten Strecken und dividiere durch die Gesamtzeit, dann kommst Du auf das Ergebnis von P.

LG Volker

#6

Hi Martin,

danke für deine Antwort!

man kann einen Durchschnitt auf mehr als eine Art bilden. Im
einen Fall rechnest Du den arithmetischen Mittelwert der
Geschwindigkeiten aus, im anderen Fall ihren harmonischen
Mittelwert.

ist das wirklich der harmonische Mittelwert? Bin mir grad unsicher, ich seh n zwar oben stehen, aber 1/x hab ich ja nicht im Nenner, oder? Vielleicht steh ich grad auf dem Schlauch…

Gruß
Steffie

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#7

Gerne.

[…] aber 1/x hab ich ja nicht im Nenner, oder?

Doch doch, über t = s/v hast Du die da:

\begin{eqnarray}
\frac{s}{\langle t \rangle_{\rm arith}}
&=& \frac{s}{\frac{1}{4} (t_1 + t_2 + …)}
\nonumber \
&=& \frac{s}{\frac{1}{4} \big(\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} + …\big)}
\nonumber \
&=& \frac{4}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + …}
\nonumber \
&=& \langle v \rangle_{\rm harmon}
\nonumber

Das Bilden des Geschwindigkeitsdurchschnitts über das arithmetische Mittel der Zeiten führt also auf den harmonischen Geschwindigkeitsmittelwert. (Und jenes über das arithmetische Mittel der Strecken auf den arithmetischen Geschwindigkeitsmittelwert.)

Der harmonische Geschwindigkeitsmittelwert liegt hier übrigens bei nur 26.666 km/h. (1+2+4+8)/4 sind 3.75, nicht 1.875.

Gute Nacht
Martin

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#8

Hallo,

dann Division weg/Zeit = 26,66666667 km/h

Waaaass?
Nur 8 Stellen nach dem Komma?
24 Stellen sind das Mindeste:wink:

Gruß:
Manni

#9