Wer kann mir eine mathematische Erklärung geben, warum (wann) die
Schildkröte eingeholt wird?
----------->>> es eilt!!!
Wer kann mir eine mathematische Erklärung geben, warum (wann)
die
Schildkröte eingeholt wird?----------->>> es eilt!!!
Das Paradoxon iat wie folgt formuliert:
Achilles ist 10mal so schnell wie die Schildkröte. Die beiden laufen ein Rennen, wobei die Schildkröte einen Vorsprung von sagen wir 1km bekommt.
Wenn Achilles diese 1000m zurückgelegt hat, ist die SChildkröte schon 100m weiter. Nach weiteren 100m von Achilles ist die Schildkröte wieder 10m weiter gekommen. Während sich Achilles auf diesen 10m abmüht, hat die Schildkröte locker noch einen Meter geschafft, und so weiter. Immer wenn Achilles die Ex-Position der Schildkröte erreicht hat, ist sie schon weiter.
Achilles kann also beliebig nah an die Schildkröte herankommen, wird sie aber nie einholen können.
Sagt Zenon.
Der Mathematiker erwiedert:
In der ersten Etappe legt Achilles 1km zurück. In der zweiten 1km/10, in der dritten 1km/(10^2) usw. In der n-ten Etappe rennt er also 1km/(10^n)
Insgesammt sprintet er in unendlich vielen Etappen
inf
Summe (1/(10^n)) * 1km
n=0
Diese Reihe konvergiert gegen 1,11111… km = 10/9 km
Bei 10/9 km holt Achilles mit der Geschwindigkeit v also beim Zeitpunkt t= 10/9 km /v die Schildkröte ein.
Das Paradoxon scheint unlösbar, weil es mit (unendlich klein werdenden!) Etappen argumentiert.
Der Grenzwert einer unendlichen Summe kann aber gegen eine endlichen Wert konvergieren!
Peace, Kevin.
Das Paradoxon iat wie folgt formuliert:
Achilles ist 10mal so schnell wie die Schildkröte. Die beiden
laufen ein Rennen, wobei die Schildkröte einen Vorsprung von
sagen wir 1km bekommt.
Wenn Achilles diese 1000m zurückgelegt hat, ist die
SChildkröte schon 100m weiter. Nach weiteren 100m von Achilles
ist die Schildkröte wieder 10m weiter gekommen. Während sich
Achilles auf diesen 10m abmüht, hat die Schildkröte locker
noch einen Meter geschafft, und so weiter. Immer wenn Achilles
die Ex-Position der Schildkröte erreicht hat, ist sie schon
weiter.
Es wäre schön, wenn Zenon es so einfach formuliert hätte, aber leider hat er sich nicht auf konkrete Werte festgelegt und nur vorausgesetzt, daß Archilles schneller ist als die Schildkröte und diese dafür einen Vorsprung erhält. Zu allem Überflüß hat er dann noch gefordert, daß Archilles in jeder Etappe nicht bis zu der Position läuft, die die Schildkröte zu Beginn der Etappe inne hatte, sondern nur bis zur Hälfte. Wenn wir die Geschwindigkeit von Archilles mit vA und die der Schildkröte mit vS sowie den Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens mit S0 bezeichnen, dann finden wir die beiden Kontrahenten zu einem bestimmten Zeitpunkt t des Rennens an den Positionen A(t)=t*vA (für Archilles) und S(t)=S0+t*vS (für die Schildkröte) wieder. Den Zeitpunkt, an dem die Schilkröte eingeholt wird, könnten wir ganz einfach berechnen, indem wir die Positionen gleich setzen und nach t auflösen:
t∞=S0/(vA-vS)
Leider hat es Zenon verstanden aus dieser simplen Aufgabe ein Problem zu machen, welches Jahrhunderte lang nicht zu lösen war, weil man damals noch nicht wußte, was unendliche Reihen und Grenzwerte sind. Nach seiner Formulierung des Problems ist t∞ nämlich der Grenzwert der Folge
t<sub>∞</sub>=lim t<sub>i</sub>
i→∞
Leider reichen meine mathematischen Künste gerade, um ti implizit anzugeben:
t0=0
ti+1=½[S<sub>0</sub>/v<sub>A</sub>+t<sub>i</sub>(v<sub>S</sub>/v<sub>A</sub>-½)]
Um den Limes zu berechnen braucht man aber die explizite Form der Zahlenfolge.
ti+1=½[S<sub>0</sub>/v<sub>A</sub>+t<sub>i</sub>(v<sub>S</sub>/v<sub>A</sub>-½)]
Da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Meine Rekursionsgleichung lautet:
(vorausgesetzt Archilles legt pro Zeitintervall die Hälfte der momentanen Entfernung zur Schildkröte zurück)
ti+1=½[S<sub>0</sub>/v<sub>A</sub>+t<sub>i</sub>(v<sub>S</sub>/v<sub>A</sub>+1)]
Um den Limes zu berechnen braucht man aber die explizite Form
der Zahlenfolge.
NEIN!
Konvergiert die Folge ti gegen tg, so ist tg natürlich implizit gegeben durch
tg=½[S<sub>0</sub>/v<sub>A</sub>+t<sub>g</sub>(v<sub>S</sub>/v<sub>A</sub>+1)]
Man braucht trivialerweise nur nach tg aufzulösen und erhält erwartungsgemäß
tg = S0 /(VA-VS)
Das, was zu erwarten war.
-)
Gruß Frank
Konvergiert die Folge ti gegen tg, so
ist tg natürlich implizit gegeben durchtg=½[S<sub>0</sub>/v<sub>A</sub>+t<sub>g</sub>(v<sub>S</sub>/v<sub>A</sub>+1)]
Tatsächlich! Darauf hätte eigentlich selbst Zenon kommen müssen.
das eigentlich problem liegt eigentlich auch da, dass zenon die zeit begrenzt hat… ich weiß nicht mehr, welcher zeitraum das war, aber sagen wir mal eine stunde für eine 1000km (okay, unrealistisch, aber egal…)
achilles holt die schildkröte also in 1,111111… stunden nicht ein…
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Meines Erachtens handelt es sich bei „Zenon und der Schildkröte“ gar nicht um ein Paradoxon, sondern um ein fehlerhaftes Hantieren mit dem Begriff Zeit.
Aus der Konstruktion des „Paradoxons“ folgt nämlich nicht nur eine Nullfolge von Wegabschnitten, deren Reihensumme gegen einen festen Wert konvergiert (den Ort, wo der Läufer die Schildkröte einholt), sondern auch eine konvergierende Zeitreihe.
In dem „Paradoxon“ wird dem Leser bzw. Zuhörer aber suggeriert, dass das Vorauslaufen der Schildkröte bei diesem Gedankenspiel nicht nur unendlich oft, sondern auch unendlich lange erfolgt. Das ist aber nicht wahr. Die Konstruktion dieses „Paradoxons“ enthält sozusagen einen Ablauftermin für die eigene Anwendbarkeit. Der Ereignisablauf der Fortbewegung von Schildkröte und Läufer findet aber darüber hinaus statt.
Ausgesagt wird in Wirklichkeit daher folgendes: „Der Läufer holt die Schildkröte bis zu dem Moment nicht ein, wo er sie einholt.“
Das ist ein wahre Aussage, und das „Paradoxon“ entpuppt sich als Tautologie.
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