allgemeine formel
sorry, ich mag nicht irgendwo hinten in einem teilthread haare spalten, stattdessen hier die allgemeinen überlegungen:
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zwei kinder, mindestens ein J. die chancen für JJ sind, wie allgemein bekannt, 1:3.
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nehmen wir eine hypothetische eigenschaft x an, die auf 50% der menschen zutrifft, in opposition zu y. jemand hat zwei kinder, mindestens ein J mit der eigenschaft x. wie stehen die chancen für JJ?
schreiben wir alle fälle auf:
JxMx, JxMy, JyMx, JyMy
MxJx, MxJy, MyJx, MyJy
MxMx, MxMy, MyMx, MyMy
JxJx, JxJy, JyJx, JyJy
wir sehen, es sind 16 fälle, von denen durch die angabe Jx nur 7 in frage kommen. von diesen 7 fällen sind 3 JJ. wir sind also bei 3:7.
- analog dazu mag sich jeder selbst die mühe machen, alle kombinationen aufzuschreiben, wenn wir drei gleichverteilte zusatzeigenschaften x, y, und z haben. von den insgesamt 36 möglichkeiten enthalten 11 einen Jx, davon sind 5 JJ. also 5:11.
daraus läßt sich die formel (2n-1)/(4n-1) erkennen, wobei n für die anzahl der gleichverteilten eigenschaften einer zusatzinformation steht. bei n=7 ergibt die formel, überraschung, 13:27.
wichtig ist die frage der symmetrie. die chance für JJ muß ja bei Jx genauso groß sein wie bei Jy bzw. auch Jz usw.
bei den 16 fällen mit der zusatzbedingung x/y sehen wir je 7 fälle mit Jx bzw. Jy, von denen sich zwei überschneiden. das ergibt insgesamt und wenig überraschend die 12 fälle, die nach ausschluss von MM überbleiben. die symmetrie ist also auch gegeben.
die frage ist, wie man mit nicht genau quantifizierbaren zusatzinfos umgeht, also zb. mit namen oder einem geburtsdatum. wenn man in solchen fällen n als sehr große zahl annimmt, konvergiert die obige formel gegen 1:2. das bedeutet, daß die angabe „jemand hat zwei kinder. eins davon ist karl, 7 jahre alt, blond. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, daß das zweite kind auch ein junge ist?“ mit der für mich relativ naheliegenden und intuitiven antwort „das andere kind ist entweder ein junge oder ein mädchen. die chance ist daher 1:2“ beantwortet werden kann.
für mich ist die überraschung nicht, daß solche spezifischen fragen zur antwort 1:2 führen, sondern eher, daß die ursprüngliche fragestellung mit „mindestens ein junge“ zu 1:3 führt. tatsächlich ist es aber so: wenn wir eines von zwei kindern kennen, aber über das andere keine anhaltspunkte haben, dann ist es entweder J oder M. die angaben zum bekannten kind ändern daran nichts.
bei „mindestens ein J“ wird zunächst mal der fall MM ausgeschlossen, aber es werden auch im fall JJ zwei möglichkeiten zusammengefasst. wenn das jüngere kind J ist, kann es einen älteren bruder oder eine ältere schwester haben (jeweils 1:2), analog dazu hat das ältere männliche kind auch zu 1:2 einen kleinen bruder. diese beiden fällen verschmelzen hier zu einem, deswegen kommt hier 1:3 raus. das ist zwar nicht intuitiv, aber relativ einfach nachvollziehbar.
je genauer man nun ein kind definiert, desto eher rückt die wahrscheinlichkeit wieder in richtung 1:2. das witzige ist, daß das zwar die intuitive antwort ist, aber erst mühsam bewiesen werden muß, weil die 1:3 im anderen fall so leicht nachzuvollziehen sind, und in der wahrscheinlichkeitsrechnung intuitiv zugegeben nicht immer richtig ist.
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