Zusammenhängende Mengen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo

Ich hab gelesen eine Menge gilt als zusammenhängend, wenn sie nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden kann.

Nach meiner Vorstellung ist die Menge, die durch die Vereinigung der Intervalle [0;1] und [2;3] entsteht nicht zusammenhängend.

Jedoch ist es mir nicht gelungen eben diese zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zu bilden. Dabei stört mich vor allem die Eigenschaft offen, da beide Intervalle für sich abgeschlossene Mengen bilden.

Entweder ist meine Vorstellung von Zusammenhängend falsch und obige Menge ist es doch, oder aber ich hab nur übersehen wie sie zu zerlegen geht.

Danke für Antworten
MfG IGnow

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Hey IGnow,

die Erklärung hierfür liefert die Spurtopologie bzw. Teilraumtopologie.
In dieser können deine Mengen durchaus offen sein.

Spurtopologie kann man so erklären, dass in dieser alle Mengen offen sind, die im Schnitt einer offenen Menge (im Sinne des topologischen Raumes) und einer beliebigen Teilmenge des topologischen Raumes sind. Zum Beispiel ist die Menge [1,2] nichts anderes als der Schnitt von (0,3) und [1,2] und somit nach Definition offen.

Gruß René