Zusammenhang von E=mc² und Relativitätstheorie?

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich habe mich kürzlich in die Relativitätshtheorie eingelesen und verstehe dabei folgendes nicht:

Wie können die beiden Hauptpostulate

  1. Das Licht ist gegenüber allen Bezugssystemen gleich schnell
    und 2) Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt
    implizieren, dass die Masse eines Körpers äquivalent zum Energieinhalt sein muss? Dass die Zeit gedehnt wird, kann ich noch nachvollziehen, auch dass die Masse zunimmt und Längen kontrahiert werden, aber ich sehe keinerlei Verbindung zwischen der Relaitivitätstheorie und der Formel E=mc², obwohl diese heute allgemein als Ergebnis der Relativitätstheorie gilt. Und außerdem: Warum ist diese Formel heute so viel bekannter als der wichtige Faktor bzw. Divisor (1-(v/c)²)?

Kann mir jemand helfen?
Danke
Marius

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E = mc^2 ist einfach die relativistische Ruheenergie eines Teilchens. Man kann die ‚einfach‘ (na ja, ganz anspruchslos ist es nicht) aus der Quantenfeldtheorie ableiten, man muss ja nur die freien Felder betrachten und sehen, dass die einzelnen Komponenten der Felder die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen müssen, die dir direkt die Energie-Impuls-Beziehung E^2 = c^2*p^2 + m^2*c^4 liefert. Für ruhende Teilchen ist p = 0 und man hat die obige Formel.

MOD: Vollzitat gelöscht.

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Hallo!

Ich fang mal hinten an:

Diese Formel ist deswegen so berühmt, weil ihre Anwendungen (insbesondere Kernspaltung, Kernfusion, …) nachhaltig unsere Welt verändert haben. Das mit der Zeitdilatation ist zwar ein hübsches Gedankenspiel, aber wo kann man es schon beobachten?

Zweite Fragen: Es stimmt, dass die Herleitung von E=mnc² nicht unmittelbar zur speziellen Relativitätstheorie gehört. Einstein hat das auch getrennt von einander veröffentlicht.

Nun zur Herleitung (Wenn Du es mathematisch exakt möchtest, muss ich Dich an die Fachliteratur verweisen).

Zwei Beobachter bewegen sich relativ zueinander entlang der x-Achse. Beide beobachten einen Autounfall, bei dem ein Auto gegen eine Wand donnert. Die Fahrtrichtung des Autos sei die y-Richtung. Der Schaden, der dabei entsteht, muss natürlich bezugssystemunabhängig sein. (Entweder die Stoßstange ist hin oder sie ist es nicht). Also ist auch der Impuls in y-Richtung nicht von der Bewegung in x-Richtung abhängig. Nach der Lorentz-Trafo hängt aber die Geschwindigkeit in y-Richtung sehr wohl von der Bewegung des Betrachters in x-Richtung ab. Damit das Produkt aus Geschwindigkeit und Masse gleich bleibt, muss die ‚Masse‘ ihrerseits ebenfalls (und zwar umgekehrt) von der Geschwindigkeit in x-Richtung abhängen.

Ich schreibe hier ‚Masse‘ in Anführungsstrichen, weil man diese Masse ja auf keiner Waage der Welt messen kann. Die Waage befindet sich immer im Bezugssystem des zu wiegenden Körpers, also gibt es diese geschwindigkeitsabhängige Masse eigentlich nur als Gedankenkonstrukt.

Aber diese ‚geschwindigkeitsabhängige Masse‘ zwingt uns, auch die Berechnung der Energie zu überdenken. Man erhält dann eine Formel für die Energie in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Autos. Diese Formel ist eine Reihe, also eine Summe aus unendlich vielen Gliedern. Das wichtigste Glied in der Formel heißt ‚1/2 m v²‘ - und das ist genau die kinetische Energie aus der klassichen Physik. Bei den Gliedern höherer Potenz (v4, v6, …) fällt die Geschwindigkeit nur dann ins Gewicht, wenn sie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht sehr klein ist.

Interessanterweise gibt es auch noch einen geschwindigkeitsunabhängigen Term, sozusagen das Glied mit v0. Es heißt:

mc²

Da das eine Energie ist, die der Körper - unabhängig von der Bewegung - auch in Ruhe besitzt, kann man sie ‚Ruheenergie‘ nennen. Damit setzt sich die Gesamtenergie eines bewegten Körpers zusammen aus

  • seiner Ruheenergie mc²
  • seiner klassischen kinetischen Energie 1/2 mv²
  • relativisitische Effekte bei hohen Geschwindigkeiten von höherer Ordnung.

Michael

MOD: Vollzitat gelöscht.

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Man kann die „einfach“ (na ja, ganz anspruchslos
ist es nicht) aus der Quantenfeldtheorie ableiten, man muss ja
nur die freien Felder betrachten und sehen, dass die einzelnen
Komponenten der Felder die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen
müssen, die dir direkt die Energie-Impuls-Beziehung E^2 =
c^2*p^2 + m^2*c^4 liefert. Für ruhende Teilchen ist p = 0 und
man hat die obige Formel.

Ja, im Kontext der Quantenfeldtheorie macht das vielleicht Sinn, ich habe ja auch nicht gesagt, dass ich überhaupt nicht nachvollziehen kann, dass Masse Energie enthält, ich sehe nur immer noch nicht den Zusammenhang zur Relativitätstheorie. Im allgemeinen enthalten alle Formeln der Relativitätstheorie den Multiplikator (1-(v/c)²), da sie aus Relativbewegung von Inertialsystemen hergeleitet sind. Tut mir leid, aber ich sehe immer noch keinen Zusammenhang zwischen der Energie-Imuls-Beziehung und der Relativitätstheorie.

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Hallo,

in einfachen Worten und ohne präzise Herleitung kommt das daher:
Ein Körper kann zwar nie die Lichtgeschwindigkeit erreichen, er kann jedoch trotzdem jederzeit beschleunigt (angeschoben) werden, d.h. Energie in ihn hineingesteckt werden. In unserem Alltag ist Energie = Kraft mal Weg oder E = p²/2m (mit Impuls p ist Masse m mal Geschwindigkeit v). Kommt man der Lichtgeschwindigkeit näher, nimmt die Geschwindigkeit weniger schnell zu, obwohl er weiterhin genauso stark beschleunigt wird. Die Energie muß wo stecken: m nimmt relativistisch zu, und die Energie steckt nicht mehr in einer Geschwindigkeit>c sondern in dem Mehr an Masse. Wahrscheinlich kann man’s auch über E = Kraft mal Weg rechnen, mit dem relativistisch verkürzten Weg nahe c.
Die Formel E=mc² ergibt sich jedenfalls direkt aus solchen, mathematisch relativ einfachen Überlegungen nach einigen Zeilen Rechnerei direkt aus den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie.

Gruß
Moriarty