Hallo!
Bei der Zustandsdichte geht man ja vom Volumen eines einzelnen Zustands im Phasenraum aus, der in 3D lautet (2*pi/L)^3 mit L als Körper-Kantenlänge.
Woher kommt das?
Ich meine: würde man alle möglichen Wellenlängen betrachten, die in die Länge L passen, dann käme man ja auf (pi/L)^3
Woran liegts also?
Hallo,
Bei der Zustandsdichte geht man ja vom Volumen eines einzelnen
Zustands im Phasenraum aus, der in 3D lautet (2*pi/L)^3 mit L
als Körper-Kantenlänge.
Woher kommt das?
Ich glaube, aus den Randbedingungen. Man schaut sich einen (3D) unendlich hohen Potentialtopf an, und hat die Randbedingungen, dass die Wellenfunktion (inklusiver erster Ableitung) am Rand verschwinden muss. Daraus folgt die Quantisierungsbedinungen k = 2 * n * pi / L.
Das hängt aber auch von dem Modell ab, das du gerade betrachtest, vielleicht kannst du dazu noch genaueres sagen…
HTH,
Moritz
Hallo.
Bei der Zustandsdichte geht man ja vom Volumen eines einzelnen
Zustands im Phasenraum aus, der in 3D lautet (2*pi/L)^3 mit L
als Körper-Kantenlänge.
Woher kommt das?
Wellenfunktionen, welche die Schrödingergleichung eines freien Teilchens (ohne Spin) erfüllen, haben die Form von ebenen Wellen
ψ( r ) = ei k*r
Da die Lösungen zusätzlich die periodische Randbedingung
ψ(x,y,z) = ψ(x+L,y+L,z+L)
erfüllen müssen, folgt für die möglichen Werte für die Komponenten von k :
kx,ky,kz = 0, ±2π/L, ±4π/L, …
Es gibt also genau einen erlaubten Wert von k pro Volumen (2π/L)³ im k -Raum.
Gruß
Oliver
Okay:
Also ich gehe einfach mal davon aus, dass mein Teilchen (können auch mehr sein, die halt nicht wechselwirken) in einem endlichen Würfel-Volumen eingesperrt ist. Das ist ja analog zum unendlich hohen Potentialtopf. Die Randbedingung wird dann erfüllt durch am Rand verschwindende Wellenfunktionen (die Ableitung muss am Rand aber nicht verschwinden - oder?)
So. Das wars auch schon. Mein Problem:
In den ganzen Quantenmechnik büchern, die ich kenne legt man dann halt lauter Wellenfunktionen in den Potentialtopf, deren Wellenlänge reinpasst, sodass ich an den Rändern Knoten habe. Ist soweit ja auch logisch; damit erhalte ich lambda=2L/n wobei n eine Natürliche Zahl ist.
In der Festkörperphysik betrachtet man (näherungsweise) wechselwirkungsfreie Elektronen, die in einem Potentialtopf herumfliegen. Meiner Meinung nach ist das genau das gleiche Problem wie oben.
Man wählt nun periodische Randbedingungen (Warum? Weshalb? Es müsste doch reichen, wenn die Wellenfunktionen einfach nur in den Topf passen?), also f(x+L)=f(x). Damit passen aber nur mehr Wellenlängen lambda=L/n in den Topf.
Wenn ich nun die beiden Phasenraumvolumina einer Welle im einen und anderen Modell berechne, so unterscheiden sie sich um den Faktor 2 (weil ja beim oberen Modell die größte Wellenlänge doppelt so groß ist wie beim unteren.)
Aber welches stimmt den nun, bzw. warum unterscheiden sie sich?
Wenn ich nun die beiden Phasenraumvolumina einer Welle im
einen und anderen Modell berechne, so unterscheiden sie sich
um den Faktor 2 (weil ja beim oberen Modell die größte
Wellenlänge doppelt so groß ist wie beim unteren.)
Aber welches stimmt den nun, bzw. warum unterscheiden sie
sich?
Die Annahme der periodischen Randbedingung ändert den physikalsichen Gehalt des Problems bei großen Systemen nicht in grundsätzlicher Hinsicht, sind aber mathematisch viel leichter zu handhaben.
Da bei periodischen Randbedingungen sowohl positive als auch negative Werte von k erlaubt sind (das hast du übersehen), ergibt sich insbesondere auch die gleiche Anzahl an Zuständen.
Gruß
Oliver