Die Hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh und tanh) werden in der Schule ja nicht oder nur wenig behandelt. Für meine Fackarbeit wäre es allerdings nützlich zu wissen, warum diese Funktionen „erfunden“ wurden und vor allem durch welche anfänglichen Eigenschaften sie definiert wurden.
Bekanntlich haben sie ja eine ganze Reihe interessanter Eigenschaften, wovon sich jedoch einige sicher konsequent aus den anderen ursprünglichen ableiten.
Es wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wo ich dazu genauere Infos finde,
ich habe schon viel durchgeschaut aber keine Anhaltspunkte gefunden.
MfG,
Laccu
Hallo Laccu
Die Hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh und tanh) werden in
der Schule ja nicht oder nur wenig behandelt. Für meine
Fackarbeit wäre es allerdings nützlich zu wissen, warum diese
Funktionen „erfunden“ wurden und vor allem durch welche
anfänglichen Eigenschaften sie definiert wurden.
Bekanntlich haben sie ja eine ganze Reihe interessanter
Eigenschaften, wovon sich jedoch einige sicher konsequent aus
den anderen ursprünglichen ableiten.
Es wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wo ich
dazu genauere Infos finde,
ich habe schon viel durchgeschaut aber keine Anhaltspunkte
gefunden.
Einführungen findet man vielen einführenden Büchern über Analysis. Ich weiss zwar nicht, welches Vorwissen Du hier hast, aber wenn Du Zugriff auf das Buch „Lehrbuch der Analysis Teil 1“ hast, kann ein Blick in Kapitel 53 Dir vielleicht ein wenig weiterhelfen. Dort wird auch gezeigt, dass zum Beispiel ein zwischen zwei Pfosten aufgehängtes Seil die Form der Kurve des cosh annimmt.
Ansonsten bringt Dich auch eine Suche nach „hyperbolischer Cosinus“,… mit Google zu einem Ergebnis, z.B. http://www.mathe-online.at/materialien/Thomas/files/…
Gruss Urs
Hallo Laccu,
sinh und cosh sind schon etwas besonderes.
Die erste Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion.
Die vierte Ableitung von sin bzw. cos ist wieder sin bzw. cos.
Die zweite Ableitung von sinh bzw. cosh ist wieder sinh bzw. cosh.
Das ist doch was, oder.
Gruß
Stefan
Hallo Laccu,
an der Schule kommen diese Funktionen eher selten vor, weil man dort normalerweise die trigonometrischen Funktionen anhand ihrer Rolle in der Trigonometrie, also bei Winkeln von Dreiecken etc. erlernt.
Sie hängen aber auch über ihre Potenzreihenentwicklung zusammen.
Wie Du vielleicht weisst, kann man (jedenfalls „nicht pathologische“) Funktionen in eine Potenzreihe entwickeln.
Dabei gilt:
exp(x)= 1+(1/1!)x+(1/2!)x²+(1/3!)x³+…
sin(x)=(1/1!)x - (1/3!)x³ + (1/5!)x^5 - …
cos(x)=1 - (1/2!)x² + (1/4!)x^4 - …
und dann:
sinh(x)=(1/1!)x + (1/3!)x³ + (1/5!)x^5 + …
cosh(x)=1 + (1/2!)x² + (1/4!)x^4 + …
Die Potenzreihen von sinh und cosh enthalten also die selben Terme wie die von sin und cos, allerdings keine alternierenden Vorzeichen.
Liebe Grüße,
Max
Viele unabhängige Zugänge zum cosh
Hallo Laccu,
an der Schule kommen diese Funktionen eher selten vor, weil
man dort normalerweise die trigonometrischen Funktionen anhand
ihrer Rolle in der Trigonometrie, also bei Winkeln von
Dreiecken etc. erlernt.
Sie hängen aber auch über ihre Potenzreihenentwicklung
zusammen.
Wie Du vielleicht weisst, kann man (jedenfalls „nicht
pathologische“) Funktionen in eine Potenzreihe entwickeln.
Dabei gilt:
exp(x)= 1+(1/1!)x+(1/2!)x²+(1/3!)x³+…
sin(x)=(1/1!)x - (1/3!)x³ + (1/5!)x^5 - …
cos(x)=1 - (1/2!)x² + (1/4!)x^4 - …
und dann:
sinh(x)=(1/1!)x + (1/3!)x³ + (1/5!)x^5 + …
cosh(x)=1 + (1/2!)x² + (1/4!)x^4 + …Die Potenzreihen von sinh und cosh enthalten also die selben
Terme wie die von sin und cos, allerdings keine alternierenden
Vorzeichen.
-
Den o.g. Zugang über Potenzreihen ist sicherlich einer
der algebraisch sinnvollsten. -
Berechnet man den Sinus, bzw. den Cosinus mit komplexen
Zahlen, so erhält man sin(i*x)=i*sinh(x) und cos(i*x)=cosh(x) -
Der physikalische Zugang über durchhängende Kette war
ja auch schon erwähnt. -
physikalischer Zugang über die Schwingungsgleichung
mit „falschem“ Vorzeichen, d.h. A*x’’+B*x+C=0 mit A*B
Hi,
- Man stelle sich die Frage, welches der gerade und der ungerade Anteil der doch so wichtigen Funktion ex sind (Background: jede Funktion läßt sich eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen).
Gruß
Martin
Geometrische Bedeutung
Liebe Leute,
latürnich haben die Hyperbelfunktionen eine geometrische Bedeutung!
Es gibt auch eine Einheitshyperbel, nicht nur den Einheitskreis…
Im WWW gibt es einiges zu entdecken.
Sehr schön das hier:
http://www.mathe-online.at/materialien/Thomas/files/…
Gruß
Stefan
…link bereits zitiert
…weiter unten ist der von mir angegebene Link sogar zitiert (von Kollbrunner).
Meiner Ansicht nach ist alles andere (Potenzreihen, Kettenlinie etc.) der geometrischen Bedeutung nachgeordnet.
sfn
Danke
An dieser Stelle möchte ich mich für die rege Beteiligung bedanken.
Ich hatte nach einem roten Faden gesucht, an dem ich die „Story“ aufhängen kann. Ich denke bei der Auswahl ist das kein Problem mehr.
MfG,
Laccu