Zwei knifflige Grenzwerte

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,
ich versuche vergeblich zwei Grenzwerte, deren Lösung beidesmal 0 ist, rechnerisch zu begründen:

\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{e^{\theta x} x^{n+1}}{(n+1)!}}

Genügt hier die Begründung, dass Fakultäten schneller steigen als Potenzfunktionen mit fester Basis?

\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(1-\theta)^n}{(1-\theta x)^n} \frac{x^{n+1}}{1-\theta x}}

Bis auf ein paar Umformungen komme ich hier leider ga nicht weiter. (Vllt L’Hospital - oder funktioniert der nur mit x gegen unendlich?)
Danke!
LG

#2

  1. Da könnte man (n+1)! evtl. durch \Gamma(n) ersetzen und dann L’Hospital anwenden.

  2. L’Hospital kann verwendet werden, wenn man einen Grenzwert „\frac{0}{0}“ oder „\frac{\infty}{\infty}“ hat, hier also auch.
    Ansonsten würde mir zu dieser Aufgabe noch einfallen, die entsprechende Reihe zu betrachten. Wenn man zeigen kann, dass diese konvergiert, weiß man, dass der Grenzwert 0 ist. (Vllt. Wurzelkriterium?)

mfg,
Ché Netzer

#3

\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{e^{\theta x}
x^{n+1}}{(n+1)!}}

Genügt hier die Begründung, dass Fakultäten schneller steigen
als Potenzfunktionen mit fester Basis?

Hallo,

diese Begründung ist das Quotientenkriterium. Erstmal kannst du die e-Potenz vor den Limes ziehen, da sie nicht von n abhängt. Dann brauchst du nur noch

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n}{n!}

zu betrachten. Darauf das Quotientenkriterium angewandt liefert die gewünschte Konvergenz.

\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(1-\theta)^n}{(1-\theta
x)^n} \frac{x^{n+1}}{1-\theta x}}

Da ist schon etwas mehr Grips gefordert. Zunächst kannst du das umschreiben in

\frac{1}{1-\theta}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{(1-\theta)x}{1-\theta x}\right)^{n+1}=\frac{1}{1-\theta}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x-\theta x}{1-\theta x}\right)^n

Am besten formt man das in eine geometrische Reihe um.

\left(\frac{x-\theta x}{1-\theta x}\right)^n=\left(\frac{1-\theta x+x-1}{1-\theta x}\right)^n=\left(1+\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^k
=\frac{1-\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}}{1-\frac{x-1}{1-\theta x}}=\frac{1-\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}}{\frac{2-x-\theta x}{1-\theta x}}=\frac{1-\theta x}{2-x-\theta x}\left(1-\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}\right)

Insgesamt suchst du jetzt folgenden Grenzwert.

\frac{1}{1-\theta}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\theta x}{2-x-\theta x}\left(1-\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}\right)
=\frac{1-\theta x}{(1-\theta)(2-x-\theta x)}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1-\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}\right)
=\frac{1-\theta x}{(1-\theta)(2-x-\theta x)}\left(1-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x-1}{1-\theta x}\right)^{n+1}\right)

Dieser Grenzwert ist jetzt viel einfacher zu berechnen, denn wenn die Basis betragsmäßig kleiner 1 ist, strebt die Potenz gegen 0, und wenn sie betragsmäßig größer 1 ist gegen unendlich. Wenn die Basis betragsmäßig 1 ist, kann man nur mit Glück etwas über die Konvergenz sagen.

Ich hoffe, es war alles verständlich.

Grüße

hendrik

#4

Vielen Dank für die hilfreichen Erklärungen! :smile: