Zwei Pumpen mit verschiedener Pumpleistung füllen einen Tank in 7 Stunden. Wenn jede Pumpe einzeln arbeitet braucht die schwächere Pumpe 4 Stunden länger als die stärkere Pumpe. Wie lange braucht jede Pumpe einzeln?
Ich finde hier einfach keinen Ansatz…
Hallo,
eigentlich eine Sorte Textaufgaben, die ich nicht leiden kann, aber
P1 + P2 =7
Pumpe1 und Pumpe2 gemeinsam benötigen 7 Stunden für eine bestimmte Menge
.
P1 = P2 +4
Pumpe1 arbeitet wie Pumpe2, allerdings 4 Stunden länger.
Damit hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die lösbar sind.
Mehrere Verfahren sind möglich:
Einsetzen der 2. Gleichung in die 1. Gleichung:
P2+4+P2 = 7
2P2 = 7-4 = 3
Die stärkere Pumpe benötigt 3/2 Stunden also 1,5 Stunden.
Ergebnis einsetzen in Gleichung 2
P1 = 3/2+4 = 3/2+8/2=11/2 Stunden
Die schwächere Pumpe benötigt
5,5 Stunden
Zur Probe beide Stunden addieren folgen 5,5 + 1,5 = 7 Stunden bei gemeinsamer Arbeit.
Ist mein Lösungsangebot und erscheint logisch und damit wohl auch richtig.
Mit besten Grüßen
Detlef
Tipp: schreibe dir die bekannten Größen auf und die unbekannten Größen die in der Aufgabe vorkommen.
Wenn du das hast, kannst du damit Gleichungen aufstellen.
Das ist eigentlich ein Vorgehen, das immer funktionniert.
Beispiel:
Bekannte:
t_1 : Zeit die Pumpe eins für eine bestimmte Menge braucht; t_1=x
…
Ich meinte natürlich t_1=7h
…
Oh je, tricky! Den finde ich so auf Anhieb auch nicht! Mal drüber den Kopf zerbrechen und im besten Fall melde ich mich am kommenden Wochenende und erzähle dir, was mir alles durch den Kopf gegangen ist. Bis dann 
Pumpe1 braucht x Stunden um den Tank zu füllen. Sie füllt in einer Stunde 1/x des Tankes.
Pumpe 2 braucht dafür x+4 Stunden.
Sie füllt in einer Stunde 1/(x+4) des Tankes.
Beide Pumpen zusammen füllen den Tank in sieben Stunden. Sie füllen in einer Stunde 1/7 des Tankes.
Gleichung: 1/x + 1/(x+4) = 1/7.
Die Gleichung hat keine gazzahlige Lösung. Man erhält für x den ungefähren Wert 12.
Ergebnis: Pumpe 1 benötigt circa zwölf und Pumpe 2 cica 16 Stunden, um den Tank allein zu füllen.
Hallo Detlef,
vielen Dank für den Lösungsvorschlag, der aber leider nicht passt.
Wenn beide Pumpen zusammen 7 Stunden benötigen, kann die schwächere Pumpe das in 5,5 Stunden nicht alleine schaffen…
Gruß Christoph
Die durchschnittliche Zeit wäre dann also (wenn beide Pumpen gleich stark wären)
x + 2
zwei durchschnittliche Pumpen braucht 7 Stunden
eine durchschnittliche Pumpe benötigt das Doppelte,
also 14 Stunden = x + 2
x + 2 = 14 | -2
x = 12
–> x = 12 Stunden (1. Pumpe)
–> x+4 = 16 Stunden (2. Pumpe)
Definiere folgende Größen:
V: Volumen des Tanks [m³]
P: Pumpleistung der schwachen Pumpe [m³/h]
x*P: Pumpleistung der starken Pumpe [m³/h]
t: Zeit [h]
Beide Pumpen gemeinsam:
(1+x)*P * 7h = V
Einzelne Pumpen:
x*P*t = V
P*(t+4h) = V
Das ist eine Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten, so also nicht lösbar. Das ist aber auch nicht nötig, denn die Frage lautet ja nur „Wie lange braucht jede Pumpe einzeln?“ Dazu dividieren wir alle 3 Gleichungen einfach durch V, und betrachten das resultierende „P/V“, das in allen drei Gleichungen vorkommt, als eine einzige Unbekannte - es ist die Normierung auf das Tankvolumen, das ja nicht von Interesse ist.
Die Lösung des Systems ist:
x -> 1.32573
P/V -> 0.0614246
t -> 12.2801
Das alles setzt natürlich voraus, dass die Aufgabe als reine Mathematik-Aufgabe zu verstehen ist, in der sich die Pumpen nicht gegenseitig beeinflussen.
Leistung = Arbeit / Zeit
P=W/t
P1 * 7 + P2 * 7 = Wtankfüllung
P1 * t1 = Wtankfüllung
P2 * (t1 + 4) = Wtankfüllung
wobei
Wtankfüllung = Arbeit, welche aufgewendet werden muss, bis der Tank voll ist
P1 = Leistung der ersten Pumpe
P2 = Leistung der zweiten Pumpe
t1 = Zeit, welche die erste Pumpe benötigt, um den Tank voll zu pumpen
Du könntest jetzt in der Ersten Gleichung P1 durch Wtankfüllung/t1 (aus der zweiten Gleichung) und P2 durch Wtankfüllung/(t1 + 4) ersetzen. Dann erhältst du folgendes:
Wtankfüllung * 7 / t1 + Wtankfüllung * 7 / (t1 + 4) = Wtankfüllung
Nun kannst du durch Wtankfüllung teilen und nach t1 auflösen.
Das ganze ist jetzt natürlich ohne gewähr auf Richtigkeit.
Freundliche Grüsse
neonbit
Die Durchflussgeschwindigkeiten beider Pumpen addieren sich für das Gesamtpumpensystam, wenn beide Pumpen zugleich arbeiten.
v sei das das Tankvolumen.
x sei die Zeit (in Stunden), die die schwache Pumpe alleine benötigt.
x-4 ist die Zeit (in Stunden), die die starke Pumpe alleine benötigt.
v/x bzw v/ (x-4) sind die jeweiligen
Durchflussgeschwindigkeiten.
Die Durchflussgeschwindigkeit des Gesamtsystems ist v/7.
Also: v/x + v/(x-4) = v/7
Division durch v und die üblichen algebraischen Umformungen führen auf die quadratische Gleichung
(x quadrat) - 18 x + 28 = 0.
Löse nach p-q Formel, entscheide Dich fürs richtige Vorzeichen bei der Lösung und bilde die Schlusssätze für die schwache Pumpe („x“) und die starke Pumpe „(x-4“).
Gruß von Max
Der 1.Satz führt zur Gleichung
(1) 7x+7y = M
wobei M die (unbekannte) Größe des Tanks in Litern sei.
x ist die Pumpleistung der stärkeren Pumpe in Liter pro Stunde (l/h),
y die Pumpleistung der schwächeren Pumpe.
Der 2.Satz führt zu den Gleichungen
(2a) ax = M
und
(2b) (a+4)y = M
a bezeichnet hierbei die Anzahl der Stunden, die die stärkere Pumpe braucht, um den Tank zu füllen.
Aus den Gleichungen (2a) und (2b) erhält man durch Gleichsetzung die Beziehung
(3) x = ((a+4).y)/a
Wenn man x aus Gleichung (3) und M aus Gleichung (2b) in die Gleichung (1) einsetzt, ergibt sich nach Umformung die folgende quadratische Gleichung
(4) a^2 - 10a - 28 = 0
Die poitive Lösung dieser Gleichung ergibt
(5) a = 5 + Wurzel_aus(53) =~ 12,2801
(Die negative Lösung braucht nicht beachtet werden, denn die Zeitdauer sollte ja positiv sein.)
Ergebnis: Die stärkere Pumpe benötigt 12 Stunden 16 Minuten und 48,4 Sekunden, die schwächere braucht um 4 Stunden länger (= 16,2801 Stunden)
Die Größe des Tanks ist irrelevant, denn für die Berechnung ist nur das Verhältnis der beiden Pumpleistungen wichtig.
Das ergibt sich ja aus den Gleichungen (2a) und (2b) mit
(6) x/y = (a+4)/a = 16,2801 / 11,2801 =~ 1,3257
Wenn wir für die schwächere Pumpe die Leistung y = 1 l/h annehmen, ergibt sich x = 1,3257
In Gleichung (1) eingesetzt, ergibt sich
7.1,3257 + 7 = 16,2801 = M
Gleichung (2a) ergibt
12,2801.1,3257 = 16,2801 = M.
Unsere Rechnung stimmt also!
Alles klar?
Freundliche Grüße
Annie aus Wien
Sorry für die späte Antwort, ich war etwas im Stress.
Also ich würde ganz mathematisch vorgehen:
Pumpe A hat Leistung a (l/h), Pumpe B Leistung b (l/h).
Es gilt für das Volumen des Tanks T:
T = 7a + 7b
Weiter gilt:
T = s*a und
T = (s+4)*b
wobei s > 7 die Zeit zum Füllen der starken Pumpe ist.
Wir setzen beide Formeln in die obere ein:
s*a = 7a + 7b
(s+4)*b = 7a + 7b
Jetzt beide einmal nach a und nach b auflösen:
(s-7)*a = 7b
(s-3)*b = 7a
Zweite nach a auflösen und einsetzen, ergibt nach ein paar Umformungen:
b(s^2 -10s -28) = 0
Per Definition kann b nicht null sein, also die quadratische Gleichung auflösen:
s = 5 ± Wurzel aus 53. Negativer Wert ist ausgenommen.
Der Rest ergibt sich entsprechend, leider nicht besonders gerade Werte…
Hallo Christoph,
sagte ich doch, dass ich diese Art der Aufgaben nicht mag und das noch bei 30°+
Du wirst wohl die Lösung schon haben, aber wie wäre es hiermit:
Vol = P1*7 + P2*7
Vol = P1*11
Gleichsetzen und Umformen
P1*7+ P2*7 = P1*11
P2*7 = P1(11-7) = P1*4
P2 = 4/7 * P1 = 0,571 * P1
P1 = 7/4 * P2 = 1,75 * P2
P1,2 [l/h] Pumpleistung
Probe geht jedenfalls auf (19,25)
Ein schönes Wochenende und besten Gruß,
Detlef
Da fehlen doch noch weitere Angaben.