Also ich habe diese Aufgabe und keinen blassen schimmer…
Kreis: (4/1) r=3,5cm
auf dem Oberen Halbreis liegt der PunktA(5,5/…)auf der unteren HalbkugelPunktB(2/…)
1)Bestimmen sie die Tangenten in den Punkten.
2)Konstruieren sie die Situation.
Konstruieren, heißt das zeichnen??
DANKE
ja.
Also ich habe diese Aufgabe und keinen blassen schimmer…
Kreis: (4/1) r=3,5cm
auf dem Oberen Halbreis liegt der PunktA(5,5/…)auf der
unteren HalbkugelPunktB(2/…)
1)Bestimmen sie die Tangenten in den Punkten.
2)Konstruieren sie die Situation.Konstruieren, heißt das zeichnen??
Ja!
Vielleicht so?
http://www.pic-upload.de/view-4749437/Save0100.jpg.html
Gruß:
Manni
Hey Puschir,
wie in den anderen beiden Antworten schon gesagt, heißt konstruieren „mehr oder weniger“ zeichnen.
Konstruieren bedeutet aber meiner Ansicht nach, etwas mehr als nur zeichnen.
Kleines Beispiel:
Mittelsenkrechte einer Gerade mit fester Länge n angeben.
Zeichnen würde bei mir bedeuten, dass ich die Hälfte der Gerade abmesse, also n/2 und da eine senkrechte Gerade ziehe.
Konstruieren heißt allerdings, dass ich mit dem Zirkel (Radius größer als n/2) an beiden Endpunkten der Gerade einen Kreis ziehe und die beiden Schnittpunkte der Kreise miteinander verbinde. Dies wäre die Mittelsenkrechte konstruiert.
Mangels einer Idee, wie man eine Tangente konstruieren kann, würde ich aber auch denken, dass damit einfach zeichnen gemeint ist. Wenn man die Tangentensteigung berechnet hat, geht dies ja auch ganz gut.
Aber dann ist der Begriff „Konstruieren“ für mich für diese Aufgabe falsch gewählt.
Zurück zu deiner Aufgabe:
Also ich würde Aufgabenteil a) analytisch bestimmen, d.h. eine Funktion aufstellen, welche die Kreislinie darstellt, dann ableiten und damit die Tangenten in den jeweiligen Punkten bestimmen.
Die Funktion, welche die Kreisfunktion angibt ist:
f(x) = \sqrt{r^2-x^2}
Gruß René
Hallo,
Zurück zu deiner Aufgabe:
Also ich würde Aufgabenteil a) analytisch bestimmen, d.h. eine
Funktion aufstellen, welche die Kreislinie darstellt, dann
ableiten und damit die Tangenten in den jeweiligen Punkten
bestimmen.Die Funktion, welche die Kreisfunktion angibt ist:
f(x) = \sqrt{r^2-x^2}
Ich glaube nicht, dass sie das so kann.
Könntest Du so nett sein und die vollständige Berechnung mal ins Forum stellen?
Gruß:
Manni
Hey Manni,
na klar doch:
Also die Kreisfunktion, welche einen Kreis mit einem Radius von 3,5 cm um den Ursprung legt, ist:
f(x) = \sqrt{3,5^2-x^2} = \sqrt{12,25 - x^2}
Sollte man jetzt einen grafikfähigen Taschenrechner benutzen, hat man das kleine Problem, dass dieser nur den positiven Arm der Wurzel betrachtet, sprich: man bekommt nur den oberen Halbkreis.
Deswegen kann man dazu noch den unteren Halbkreis in den GTR eingeben, mit:
f(x) = -\sqrt{3,5^2-x^2} = -\sqrt{12,25 - x^2}
Vom Prinzip könnte man sich aber auch überlegen, dass die Steigungen in den jeweiligen Antipoden immer die gleiche ist. Wenn ich jetzt also die Steigung der Tangente auf dem unteren Halbkreis an der Stelle 1 möchte, dann ist es die gleiche Steigung wie auf der oberen Halbkugel an der Stelle -1.
Also weiter im Programm:
Bis jetzt haben wir einen Kreis um den Ursprung - wenn ich die Aufgabe aber richtig verstanden habe, ist der Mittelpunkt des Kreises bei (4 | 1). Jetzt eine Koordinatentransformation im einfachen Sinne:
Wenn ich bei einem Kreis um (4|1) die Steigung im Punkt x=5,5 ausrechnen soll, kann man gleich die Steigung bei einem Kreis um den Ursprung an der Stelle x=1,5 ausrechnen. Analog bei verschobenen Kreis an der Stelle 2, ist wie bei dem Kreis um den Ursprung an der Stelle x=-1,5.
Dazu brauch ich die Ableitung der Funktion:
f(x) = \sqrt{12,25 - x^2}
f’(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{12,25-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{12,25 - x^2}}
Jetzt die Steigung des Punktes auf der oberen Halbkugel ausgerechnet:
f’(1,5) = -\frac{1,5}{\sqrt{12,25 - 1,5^2}} = -\frac{3 \sqrt{10}}{20} \approx -0,474
Und jetzt noch die Steigung an der Stelle x=-1,5:
Entweder man macht sich nochmal die Mühe, das auszurechnen oder man erkennt, dass aus Symmetriegründen gelten muss, dass sich das Vorzeichen grade umdreht:
f’(-1,5) = \frac{1,5}{\sqrt{12,25 - (-1,5)^2}} \approx 0,474
Ich hoffe, dass deckt sich ungefähr mit deiner Zeichnung.
Gruß René
PS: Man hätte die Transformation zum Ursprung nicht machen müssen, da man auch die Funktion so abändern kann, dass sie eben den gewünschten Kreis zeigt. Aber mir ist erst im Nachhinein aufgefallen, dass der Mittelpunkt verschoben wurde. Außerdem war so die Ableitung einfacher und man sieht sofort, dass man nur einmal die Steigung ausrechnen muss.
Die Funktion, welche den Kreis um den Punkt (4|1) legt, wäre:
f(x) = \sqrt{12,25 - (x-4)^2}+1
Hallo Bozz
Danke.
Klasse und ein*
Stimmt mit meine Skizze gut überein.
Gruß:
Manni
Hallo TheBozz,
das kann man einwandfrei so machen, oder etwas straffer so:
Punkt A (5.5 | …) liegt Δx = 5.5 – 4 = 1.5 weit rechts von M (4 | 1) und r = 3.5 von M entfernt. Nach dem Satz des Pythagoras liegt A dann Δy = √(r2 – Δx2) = √10 = 3.1622… höher als M. Punkt A hat also die Koordinaten (5.5 | √10 + 1).
Die Gerade, die M und A verbindet, hat die Steigung m = Δy/Δx = … und die auf dieser Gerade senkrecht stehende Tangente ergo die Steigung –1/m = … Damit weiß man alles, um die Funktionsgleichung der Tangente angeben zu können:
y(x)
= -\frac{1}{m} (x - x_A) + y_A
= -\frac{1.5}{\sqrt{10}} (x - 5.5) + \sqrt{10} + 1
Das explizite Aufstellen und Ableiten der koordinatengeshifteten Kreisgleichung ist also nicht nötig. Letztlich sind diese und Deine Lösung natürlich dasselbe.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
das kann man einwandfrei so machen, oder etwas straffer so:
…noch besser und 2* *g*
Wenn ich mir das OP durchlese:
„keinen blassen Schimmer“
„Konstruieren Sie die Situation“
„Konstruieren heißt Zeichnen?“
habe ich Bedenken, dass die Berechnungen verstanden werden.
Wahrscheinlich wir der OP sich (wie üblich) nicht mehr melden, so dass wir nicht erfahren werden, ob und welche Erklärungen geholfen haben.
Gruß:
Manni
hi, erstmal vielen Dank
ich habe es jetzt mit dem Ansatz von theBozz versucht.Hat eihgtl ganz gut funktioniert =)
Meine Zeichnung sieht auch ähnlich aus wie Mannis.
Letztendlich habe ich zwar immer noch nicht alles verstanden aber ich hab es ja noch im unterricht. Vielen Dank
