Zweikörperproblem Relativimpuls erhalten?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
wenn man ein Zweikörperproblem hat, dann führt man ja gerne Schwerpunkts- und Relativkoordinaten ein.

Meine Frage ist jetzt, ob die neue Lagrangefunktion dazu führt, dass nicht nur der Impuls des Schwerpunktes, sondern auch noch der Relativimpuls erhalten bleibt?

Die Lagrangefunktion in kartesischen Koordinaten ist nur von der Differenz der Koordinaten abhängig. Daraus folgt, dass der Gesamtimpuls beider Teilchen erhalten bleibt.

Führt man nun aber neue Koordinaten ein, nämlich die Position des Schwerpunktes X und den relativen Abstand r der Teilchen, dann hängt diese neue Lagrangefunktion nicht mehr nur von der Differenz der Koordinaten X und r ab.
Also muss hier nicht die Summe der konjugierten Impulse erhalten bleiben.
Man weiß aber aus den anderen Koordinaten, dass der Schwerpunktsimpuls erhalten bleibt.

Ich vermute also, dass in diesen Koordinaten der Relativimpuls nicht erhalten bleibt.
Wie kann man sich das aber vorstellen?
Die Differentialgleichung für die Relativkoordinate sieht aus, wie ein Teilchen, dass sich in einem „externen“ Potential bewegt.
Da gilt natürlich keine Impulserhaltung.
Aber kann man sich das noch irgendwie anders plausibel machen, warum das in dieser Relativkoordinaten keine Impulserhaltung gibt?

Vielen Dank für Erläuterungen

#2

Hallo,

was genau bezeichnest du als „Relativimpuls“? Da sich die Dinger um den Schwerpunkt , würde ich spontan nein sagen, aber das hängt dann doch davon ab, was genau du meinst.
Insbesondere würde mich interessieren, wie r bei dir von den beiden positionen \vec r_1 und \vec r_2 abhängt.
w.bars

#3

Hallo,
also r=r1-r2 und der relative Impuls ist dann die partielle Ableitung der Lagrangefunktion in den Schwerpunkts- und Relativkoordinaten nach der zeitlichen Änderung von r.

#4

Hej,

so ganz ohne Rechnungen ist es etwas schwierig gewesen nachzuvollziehen, was du meinst. Insbesondere sprachst du von einem „relativen Abstand r“, meintest aber nur einen „Abstand r“. Was nicht das gleiche ist.
Wenn du
\vec r := \vec r_1 - \vec r_2 definierst, möchte ich gern sehen, wie du danach ableitest. Wenn du
r := |\vec r_1| - |\vec r_2| definierst, bin ich gespannt, was das soll. Wenn du
r = |\vec r_1 - \vec r_2| definierst, so fehlen in deiner Formel die Betragsstriche.

Wenn ich jetzt aber richtig zähle sind bei dir für ein Zweikörperproblem nur noch zwei Variablen. Die Lagrangefunktion wäre normalerweise
\mathcal{L} = \frac{1}{2} m_1 (\dot x_1^2 + \dot y_1^2) + \frac{1}{2} m_2 (\dot x_2^2 + \dot y_2^2) + G\frac{m_1 m_2}{\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}}

Bitte schreib mir hin, was für Definitionen und was für eine Lagrangefunktion du nutzt, damit das Rätselraten ein Ende hat.

Wasilij