Zweimal Newton´sche Mechanik

Wissenschaft Physik
1

Hiho … ich hock heute schon den halben Nachmittag an den zwei folgenden Aufgaben und komm bei keiner weiter:

Aufgabe 1:
Also ich hab zwei Kondensatorplatten mit dem Abstand d zwischen denen die Spannung U anliegt. Die eine Kondensatorplatte ist jedoch kleiner als die andere, was bedeutet, dass das E-Feld nicht konstant ist, sondern sich mit dem Faktor E=k*x ändert (k = const, x=Ort der Probeladung).

Nun sollen wir die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens aufstellen, dass von der einen Platte zur anderen flitzt. Also von x=0 zu x=d. Das soll einmal über die Energieerhaltung geschehen und einmal über die Newton´sche Formel F=m*a.

Erstmal geht es mir um die Sache mit Newton, ich denke die Energieerhaltung bekomme ich allein hin. Bei Newton hab ich jedoch folgendes Problem:

Ich setze: F = E*q = m*a (wobei a ja die zweite Ableitung von x ist). Bei einem gleichmäßigen E-Feld wäre das ja kein Problem, aber da das E-Feld einne Funktion von x ist, ist ja dann a=(k*q*x)/m, womit in der zweiten Ableitung von x, wieder das x vorkommt. Und das verwirrt mich etwas

Aufgabe 2.)
Ich habe eine schiefe Ebene. Doch der Winkel ist nicht konstant, sondern zeitlich veränderlich nach der Funktion: phi(t)=30°-5°*t.

Jetzt will ich die Bewegungsgleich für einen Körper herausfinden, der bei t=0 auf dieser Ebene losgelassen wird (v=0,x=0). Der Winkel kann auch negativ werden, also aus dem Gefälle eine Steigung werden.

Ich bin versuche über den Ansatz

F = m * g * sin(phi) = m * a

zu gehen.

Damit erhält man: a(t) = g * sin(phi)
= g * sin(30°-5°*t)

Nun müsste ich das theoretisch doch nur zweimal integrieren, um auf die Bewegungsgleichung x(t) = … zu kommen.

Doch wenn ich das integriere erhalte ich:
v(t) = g/5° cos(30°-5°*t) + v0 ; (wobei v0 = 0 ist)

Doch schon hier muss ein Fehler sein, weil die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 ja auch 0 sein muss, was bei dieser Formel aber nicht zutrifft.

Ich finde leider den Fehler nicht: liegt er beim integrieren? kann ich nicht so einfach durch Winkel dividieren?

Plz help :smile:

2

Aufgabe 1 - Newton
Hallo,

nur 'mal kurz zwischen Tür und Angel zur 1. Aufgabe:

Aufgabe 1:
Also ich hab zwei Kondensatorplatten mit dem Abstand d
zwischen denen die Spannung U anliegt. Die eine
Kondensatorplatte ist jedoch kleiner als die andere, was
bedeutet, dass das E-Feld nicht konstant ist, sondern sich mit
dem Faktor E=k*x ändert (k = const, x=Ort der Probeladung).

Nun sollen wir die Bewegungsgleichung eines geladenen
Teilchens aufstellen, dass von der einen Platte zur anderen
flitzt. Also von x=0 zu x=d. Das soll einmal über die
Energieerhaltung geschehen und einmal über die Newton´sche
Formel F=m*a.

Erstmal geht es mir um die Sache mit Newton, ich denke die
Energieerhaltung bekomme ich allein hin. Bei Newton hab ich
jedoch folgendes Problem:

Ich setze: F = E*q = m*a (wobei a ja die zweite Ableitung von
x ist). Bei einem gleichmäßigen E-Feld wäre das ja kein
Problem, aber da das E-Feld einne Funktion von x ist, ist ja
dann a=(k*q*x)/m, womit in der zweiten Ableitung von x, wieder
das x vorkommt. Und das verwirrt mich etwas

Na, Du hast es schon fast selbst gelöst. Die zu lösende DGL lautet:
a = d^2 x / dt^2 = kq/m x
welche durch den Ansatz x = exp (i C1 t) + C2 lösen läßt.
Einsetzen gibt Dir C1^2 = kq/m.

That’s it (mostly).

Aufgabe 2.)
Ich habe eine schiefe Ebene. Doch der Winkel ist nicht
konstant, sondern zeitlich veränderlich nach der Funktion:
phi(t)=30°-5°*t.

Jetzt will ich die Bewegungsgleich für einen Körper
herausfinden, der bei t=0 auf dieser Ebene losgelassen wird
(v=0,x=0). Der Winkel kann auch negativ werden, also aus dem
Gefälle eine Steigung werden.

Ich bin versuche über den Ansatz

F = m * g * sin(phi) = m * a

zu gehen.

Damit erhält man: a(t) = g * sin(phi)
= g * sin(30°-5°*t)

Nun müsste ich das theoretisch doch nur zweimal integrieren,
um auf die Bewegungsgleichung x(t) = … zu kommen.

Doch wenn ich das integriere erhalte ich:
v(t) = g/5° cos(30°-5°*t) + v0 ; (wobei v0 = 0 ist)

Doch schon hier muss ein Fehler sein, weil die Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t=0 ja auch 0 sein muss, was bei dieser Formel
aber nicht zutrifft.

Ich finde leider den Fehler nicht: liegt er beim integrieren?
kann ich nicht so einfach durch Winkel dividieren?

Ich meine, sowas steht im Nolting oder Greiner drin, zumindest so ähnlich…

CU und trotzdem viel Spaß mit TM,
Ingo

3

Hi Ingo,

welche durch den Ansatz x = exp (i C1 t) + C2 lösen läßt.

„exp (i C1 t)“ ist eine harmonische Schwingung. Wenn das Teilchen aber von einer Kondensatorplatte zur anderen flitzt, dann führt es keine Schwingung aus, oder?

Mit freundlichem Gruß
Martin

4

Hallo,

Aufgabe 2.)
Ich habe eine schiefe Ebene. Doch der Winkel ist nicht
konstant, sondern zeitlich veränderlich nach der Funktion:
phi(t)=30°-5°*t.

Das funktioniert schon mal nicht, weil Du nicht Größen mit verschiedenen Dimensionen addieren oder subtrahieren kannst. „30°“ ist dimensionslos, „5°*t“ hat die Dimension Zeit. „phi(t)=30°-k*t“ geht, aber k hat dann zwingend die Dimension 1/Zeit (z. B. k = 5°/s oder k = 5°/Tag).

jetzt will ich die Bewegungsgleich für einen Körper
herausfinden, der bei t=0 auf dieser Ebene losgelassen wird
(v=0,x=0). Der Winkel kann auch negativ werden, also aus dem
Gefälle eine Steigung werden.

Ich bin versuche über den Ansatz

F = m * g * sin(phi) = m * a

zu gehen.

Damit erhält man: a(t) = g * sin(phi)
= g * sin(30°-5°*t)

a(t) = g * sin(30°-k*t)

Nun müsste ich das theoretisch doch nur zweimal integrieren,
um auf die Bewegungsgleichung x(t) = … zu kommen.

Ja.

Doch wenn ich das integriere erhalte ich:
v(t) = g/5° cos(30°-5°*t) + v0 ; (wobei v0 = 0 ist)

Wenn a(t) = g * sin(30°-k*t) dann ist

v(t) = g/k cos(30°-k*t) + C

Diese Gleichung spezifiziert erstmal eine unendlich große Menge, aus der Du jetzt dasjenige Element bestimmen mußt, das die Bedingung v(0) = v0 (v0 Anfangsbedingung der Bewegung) erfüllt.

v(0) = g/k cos(30°) + C = g/k 1/2 sqrt(3) + C
Aus der Bedingung v(0) = v0 folgt:
v0 = g/k 1/2 sqrt(3) + C
==>
C = v0 - g/k 1/2 sqrt(3)

Mit dem jetzt bekannten „passenden“ C ist das richtige Element aus der besagten Menge bestimmt:

v(t) = g/k (cos(30°-k*t) - 1/2 sqrt(3)) + v0

Doch schon hier muss ein Fehler sein, weil die Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t=0 ja auch 0 sein muss, was bei dieser Formel
aber nicht zutrifft.

Check nach, daß es jetzt passt. Dein Fehler war, einfach mal C = v0 zu setzen. Das darfst Du nicht (merken und nie wieder vergessen)!

Bei Integration v(t) --> x(t) analog verfahren.

Ich finde leider den Fehler nicht: liegt er beim integrieren?
kann ich nicht so einfach durch Winkel dividieren?

Winkel sind Skalare und durch die darfst Du selbstverständlich dividieren.

Gruß
Martin

5

Hi Martin,

welche durch den Ansatz x = exp (i C1 t) + C2 lösen läßt.

„exp (i C1 t)“ ist eine harmonische Schwingung. Wenn das

Yep, Ich weiß.

Teilchen aber von einer Kondensatorplatte zur anderen flitzt,
dann führt es keine Schwingung aus, oder?

Normalerweise nicht - es sei denn, es findet eine Umladung statt, was man sich mit einer z.B. am Faden aufgehängten Probekugel in der Mitte des Kondensators durchaus vorstellen kann.

Geht also schon…

Gruß,
Ingo

6

fast richtig
Hi,

Na, Du hast es schon fast selbst gelöst. Die zu lösende DGL
lautet:
a = d^2 x / dt^2 = kq/m x
welche durch den Ansatz x = exp (i C1 t) + C2 lösen läßt.
Einsetzen gibt Dir C1^2 = kq/m.

Die Lösung Deiner Gleichung ist aber nicht imaginär. Die Lösung von a = - d^2 x/ dt^2 wäre imaginär und damit eine Schwingung. Genaue Gleichung durch die Randbedingungen zu bestimmen (bin zu faul :wink: ) aus :

x = A*exp (C1*t) + B*exp(-C1*t)

ciao
ralf