Hallo!
Mathe ist leider nicht meine Stärke, und ich bin mir nicht sicher, welche dieser drei Aussagen die richtige ist. Weiß es jemand?
„Zwischen zwei Zahlen liegen immer unendlich viele Zahlen.“
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele rationale Zahlen.“
„Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen immer unendlich viele irrationale Zahlen.“
Grüße
Andreas
Hallo!
ich bin mir nicht sicher, welche dieser drei Aussagen die richtige ist.
In dieser Formulierung: keine
„Zwischen zwei Zahlen liegen immer unendlich viele Zahlen.“
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele
rationale Zahlen.“„Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen immer unendlich
viele irrationale Zahlen.“
Zwischen zwei verschiedenen rationalen [irrationalen] Zahlen a und b liegen immer unendlich viele von a und b verschiedene rationale [irrationale] Zahlen.
Gruß,
KHK
„Zwischen zwei Zahlen liegen immer unendlich viele Zahlen.“
den Begriff „Zahl“ gibt es nicht. Es muss schon genau gesagt werden was für eine Zahl es ist
natürliche Zahl -nein (0 1 2 3 4; da ist nichts zwischen der 3 und 4 dazwischen)
ganze Zahl -nein (-3 -2 -1 0 1 2 3; da ist nichts zwischen der 3 und 4 dazwischen)
rationale Zahl -ja
irrationale Zahl -ja
reelle Zahl -ja
komplexe Zahl -ja
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele
rationale Zahlen.“
rationale Zahlen können als Bruch dargestellt werden, also sind schon mal alle Dezimalzahlen inklusive (irgendwas / 10^n)
zwischen 3,1 und 3,2 was liegt dazwischen?
3,1 - 3,2
3,10 - 3,20
dazwischen liegen 3,11 3,12 3,13 usw. Das kann man mit jeder beliebigen Dezimalzahl machen.
„Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen immer unendlich
viele irrationale Zahlen.“
Die irrationalen Zahlen beinhalten auch die Dezimalzahlen die unendlich viele Stellen hinter dem Komma haben und somit nicht mehr als Bruch darstellbar sind(z.B. Pi).
Hier funktioniert der selbe Trick wie zuvor. Einfach eine Stelle weiter hinten betrachten und Du kannst immer und immer wieder was dazwischen „quetschen“.
Grüße
Andreas
komplexe Zahl -ja
Das ist aber nicht korrekt. Wie definierst du denn eine Ordnung auf den komplexen Zahlen? Bzw was ist „zwischen“ zwei komplexen Zahlen?
Hallo!
„Zwischen zwei Zahlen liegen immer unendlich viele Zahlen.“
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele
rationale Zahlen.“„Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen immer unendlich
viele irrationale Zahlen.“Grüße
Andreas
Das kannst du selbst festlegen.
Wenn du z.B. zwischen 2 und 4 (eine Verdoppelung) zwölf Stufen einschalten willst, brauchst du nur die 2 12 mal mit zwölfte Wurzel aus 2 malnehmen, dann erscheint
nach der 12.Multiplikation die 4
l.G.
Horst
Bzw was ist „zwischen“ zwei komplexen Zahlen?
Hi,
da ist die Verbindungsstrecke zwischen, die dann auch Punkte mit einer Koordinate rational enthält, aber keine Punkte mit zwei rationalen Koordinaten (d.h. Real- und Imaginärteil) enthalten muss.
Gruß Lutz
Also ich hätte die beiden Aussagen jetzt so formuliert:
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele rationale Zahlen.“
\textrm{Seien }a,b \in \mathbb{Q}. \textrm{Dann gilt: }|{q \in \mathbb{Q}|a \leq q \leq b}|=\infty
„Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen immer unendlich viele irrationale Zahlen.“
\textrm{Seien }a,b \in \mathbb{Q}^C. \textrm{Dann gilt: }|{q \in \mathbb{Q}^C|a \leq q \leq b}|=\infty
(Q^C als das Komplement der rationalen Zahlen in R)
Wenn ich das gleiche für die komplexen Zahlen machen wollte, dann bräuchte ich eine Ordnung, die ich mir aber nicht definieren kann.
Wenn ich allerdings „zwischen zwei Zahlen“ als „Element der Verbindungsstrecke der beiden Zahlen“ auffasse, dann hast du natürlich Recht. Das wären im komplexen Fall ja dann alle Elemente von:
{tz_1+(1-t)z_2|t \in \mathbb{R}, 0 \leq t \leq 1} \textrm{ mit } z_1,z_2 \in \mathbb{C}
Worauf bezog sich jetzt deine Antwort bzgl. des Real- und/oder Imaginärteils?
Gruß,
Sven
Wenn Du den realen und den imaginären Teil jeweils als Dimension eines 2 dimensionalen Raumes auffasst kannst Du zwei Punkte als Ecken eines Rechtecks auffassen. Es gibt unendlich viele Punkte in diesem Rechteck.
Oder man bildet die Strecke zwischen diesen Punkten. Es gibt unendlich viele Punkte auf dieser Strecke.
Letzteres ist definitiv richtig(Es ist ein Unterraum der ersten Möglichkeit), bei ersterem bin ich mir nicht sicher und müsste in den Unterlagen nachsehen…
Wenn Du den realen und den imaginären Teil jeweils als
Dimension eines 2 dimensionalen Raumes auffasst kannst Du zwei
Punkte als Ecken eines Rechtecks auffassen. Es gibt unendlich
viele Punkte in diesem Rechteck.
Jo, das Rechteck wäre dann ja sowas wie:
{(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} | \textrm{Re}(z_1) \leq a \leq \textrm{Re}(z_2), \textrm{Im}(z_1) \leq b \leq \textrm{Im}(z_2) }
(falls z_1 die linke untere Ecke und z_2 die rechte obere Ecke ist)
Oder man bildet die Strecke zwischen diesen Punkten. Es gibt
unendlich viele Punkte auf dieser Strecke.
Ja, das ist dann klar. Das ist ja das was ich im letzten Post geschrieben hatte. Meine Menge ist die Verbindungsstrecke zwischen z_1 und z_2.
Aber ich glaube, dass einfach die Aussage zu unklar formuliert ist.
Man müsste mM nach explizit sagen, was mit „zwischen“ gemeint ist.
„Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich viele
rationale Zahlen.“\textrm{Seien }a,b \in \mathbb{Q}. \textrm{Dann gilt: }|{q
\in \mathbb{Q}|a \leq q \leq b}|=\infty
Aha. Ich wähle a=2 und b=1. Und nu?
\textrm{Seien }a,b \in \mathbb{Q}.\ \textrm{Dann gilt: } (a
Wenn ich das gleiche für die komplexen Zahlen machen wollte,
dann bräuchte ich eine Ordnung, die ich mir aber nicht
definieren kann.
Zwar ist (\mathbb{C}, +, \cdot) kein geordneter Körper, aber nichtsdestoweniger läßt sich \mathbb{C} total ordnen.
Allerdings gilt obige Aussage nicht für jede Ordnung auf \mathbb{C}.
Gruß,
KHK
Aha. Ich wähle a=2 und b=1. Und nu?
\textrm{Seien }a,b \in \mathbb{Q}.\ \textrm{Dann gilt: } (a
Ok, da hast du natürlich Recht. War Stuss was ich geschrieben hatte.
Zwar ist (\mathbb{C}, +, \cdot) kein geordneter Körper, aber
nichtsdestoweniger läßt sich \mathbb{C} total ordnen.
Das verstehe ich nicht 
Ein Körper ist doch genau dann geordnet, wenn eine totale Ordnung auf ihm existiert oder nicht? Finde das grade in meinem Skript nicht, aber das ist was ich so im Kopf habe.
Hast du ein Beispiel für so eine totale Ordnung? Vergleich der Beträge zweier komplexer Zahlen tuts jedenfalls schonmal nicht.
Gruß Sven
Hi.
Zwar ist (\mathbb{C}, +, \cdot) kein geordneter Körper, aber
nichtsdestoweniger läßt sich \mathbb{C} total ordnen.Das verstehe ich nicht
geordnet, wenn eine totale Ordnung auf ihm existiert oder
nicht? Finde das grade in meinem Skript nicht, aber das ist
was ich so im Kopf habe.
Hast du ein Beispiel für so eine totale Ordnung? Vergleich der
Beträge zweier komplexer Zahlen tuts jedenfalls schonmal
nicht.
Meinst Du eine An ordnung? Die gibt’s nicht auf \mathbb{C}. Ordnungen schon, z.B. so:
c_1 \preceq c_2\ \Leftrightarrow\ (\ (re(c_1) \leq re(c_2))\ \lor\ (re(c_1)=re(c_2) \land im(c_1) \leq im(c_2))\ )
Hier ist es auch so, dass „zwischen“ c_1 und c_2 unendlich viele weitere komplexe Zahlen liegen.
Gruß,
KHK
Meinst Du eine An ordnung? Die gibt’s nicht auf \mathbb{C}.
Ordnungen schon, z.B. so:c_1 \preceq c_2\ \Leftrightarrow\ (\ (re(c_1) \leq re(c_2))\
\lor\ (re(c_1)=re(c_2) \land im(c_1) \leq im(c_2))\ )Hier ist es auch so, dass „zwischen“ c_1 und c_2 unendlich
viele weitere komplexe Zahlen liegen.
Ich hatte in der Tat eine Anordnung im Kopf. Habs nochmal nachgeguckt: Ein Körper ist genau dann (an)geordnet, wenn eine totale Ordnung auf ihm existiert, die sich mit den Körperoperationen verträgt.
Deine angegebene Ordnung ist offensichtlich auch total, aber dürfte sich zumindest nicht mit Multiplikation vertragen(wär auch ein Ding, wenn wohl! 
).
Ok, dann hatte ich da wohl was falsch im Kopf. Danke für die Aufklärung
Gruß Sven