Hallo,
folgende Frage wie zeigt man das eine Untergruppe zyklisch ist??
mein konkretes Problem ist zu Zeigen, dass (Z/nZ) für jedes n aus N zyklisch ist.
(Z Ganzezahlen,N Natürliche Zahlen)
Kann mir da jamand weiter helfen?
Schon mal danke im Voraus
Babelchen
Eine Gruppe G ist doch zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. wenn es ein a aus G gibt, sodass G={a^k, k aus Z} ist. Also zeigt man das am einfachsten, indem man einen Erzeuger angibt. In deinem Fall also immer die 1 (bzw ihre Restklasse). An obiger Definition sieht man übrigens, dass zyklisch zu sein äquivalent dazu ist, dass es einen surjektiven GrHom von Z in die Gruppe gibt, also dass sie Faktorgruppe von Z ist, also entweder Z selber oder Z/nZ für ein n aus N.
Hat das schon geholfen?
Gruß, Florian
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Hallo,
allgemeiner fungiert in (Z/nZ) jede zu n teilerfremde Zahl von 0 bis n-1 bzw. deren Restklasse als Erzeuger.
Gruss
Enno
Das Prinzip ist mir jetzt klar danke, nur eine Frage noch (vermutlich ist die richtig blöd, aber ich steh grad voll af dem schlauch): 1^k ist doch immernoch 1 oder wie funktioniert das? ist damit + + + gemeint?
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Hallo,
1^k geht von der „multiplikaten“ Schreibweise der Gruppe aus, also (G,*,^-1,1). Hier ist Dein „Mal“ die Addition (modulo n) und deren k-fache Anwendung einfach k*1=1+…+1 (k-mal).
Gruss
Enno