Hallo,
ich versuche einmal, so kurz wie möglich und ohne Verwendung von Integralrechnung (weil du schreibst, daß du in der 9./10. Klasse bist) eine mathematisch exakte Erklärung aufzuzeigen.
Die Definition für das Volumen eines Körpers verknüpft eine zweidimensionale Größe (häufig ist es eine Grundfläche) mit einer eindimensionalen Größe, an der sich die Fläche entlangstreckt, sich sozusagen ständig wiederholt. Man stelle sich zum Beispiel einen Stapel von runden Kaffeefilterblättchen vor. Das Volumen des Stapels (ein Zylinder) ist gleich dem Produkt aus der Fläche eines Blättchens und der Höhe eines Blättchens multipliziert mit der Anzahl der Blättchen.
Auch beim Kegel streckt sich ein Flächengebilde (wieder ein Kreis) entlang einer weiteren Dimension, der Höhe des Kegels. Das Problem bei einem Kegel ist aber, daß sich der Radius der Blättchen ständig verändert - von r an der Grundfläche bis zu 0 an der Spitze des Kegels. Man muß daher eine Durchschnittsfläche finden, die so groß ist, daß sie bei Multiplikation mit der Höhe des Kegels das richtige Volumen liefert. Wo liegt diese Durchschnittsfläche ? Irgendwo zwischen der Grundfläche und der Spitze des Kegels, aber nicht genau in der Mitte.
Denn wenn wir den Kegel parallel zur Grundfläche in unterschiedlichen Höhen schneiden, verändert sich der Radius des entstehenden Kreises proportional zur Höhenänderung, die Fläche des entstehenden Kreises aber ändert sich proportional zum Quadrat des Radiusses und somit auch proportional zum Quadrat der Höhenänderung.
Es ergibt sich deshalb die mathematische Frage, an welcher Stelle bei einer sich proportional ändernden Größe das Quadrat dieser veränderlichen Größe den Durchschnittswert der auftretenden Quadratwerte annimmt. Diese Stelle liegt im Fall des betrachteten Kegels irgendwo zwischen 0 und h.
Um das Problem zu lösen, untersuchen wir eine endliche Folge von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen und die dazugehörige Folge von Quadratzahlen.
Die Summe der n Quadratzahlen beträgt n(n+1)(2n+1)/6. Diese Formel betrachten wir als gegeben; man kann sie mit dem mathematischen Verfahren der vollständigen Induktion beweisen.
Der Durchschnitt der n Quadratzahlen beträgt somit, da n herausgekürzt werden kann, (n+1)(2n+1)/6.
Die Zahl, deren Quadrat gleich diesem Durchschnitt ist, lautet Quadratwurzel von (n+1)(2n+1)/6.
Den Term unter der Wurzel erweitern wir nun mit n2.
Den Faktor n2 im Zähler ziehen wir als Faktor n vor die Wurzel und den Rest unter der Wurzel ordnen wir um zu 1/6 * (2n2/n2+3n/n2) = 1/6 * (2 + 3/n)
Nun betrachten wir n nicht mehr als fest, sondern lassen n gegen Unendlich gehen. Der Term unter der Wurzel strebt nach den Regeln der Grenzwertberechnung, die gesondert hergeleitet werden können, gegen den Wert 1/6 * 2 = 1/3, da 3/n gegen 0 strebt. Vor der Wurzel steht noch n. Für immer größer werdendes n nähert sich die Zahl, deren Quadrat der Durchschnitt der Quadratzahlen bis n2 ist, somit dem Wert n * Wurzel aus 1/3 an.
Für unsere Kegelbetrachtung bedeutet dies, daß eine Kreisfläche mit dem Radius r * Wurzel aus 1/3 den durchschnittlichen Flächeninhalt aller Kreisflächen von der Grundfläche bis zur Kegelspitze hat (bei Schnitt mit einer Ebene parallel zur Grundfläche). Diese Fläche besitzt den Flächeninhalt Pi*r2 * 1/3.
Das Volumen des Kegels beträgt daher Pi*r2 * 1/3 * Höhe.
Pi*r2 kann als Flächeninhalt der Grundfläche wiedererkannt werden.
So ergibt sich also das Volumen des Kegels nach der Formel V = 1/3 * Grundfläche * Höhe.
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