Hi, hier noch ein Rätsel, wer ist der schnellste *g*
Es gibt 120 Kugeln, die alle gleich aussehen und gleich schwer
sein. Gleich schwer? Eine dieser Kugeln ist unglücklicherweise
anders als alle anderen, sie hat ein anderes Gewicht. Da wir
leider keine absolute Waage mit Gewichtsanzeige haben,
behelfen wir uns mit der relativen Waage von Oma. Wieviel
Wägungen braucht man, um die etwas andere Kugel zu finden?
Hallo Alex,
wenn ich nichts überlesen habe, gabs noch keine Lösung, also versuche ich es mal:
Bei der Lösung ist folgendes zu beachten. Jede Wägung ergibt 3 Möglichkeiten 1. gleich schwer, 2. links schwerer und 3. rechts schwerer. Um maximale Information aus der Wägung zu erzielen, müssen alle 3 Möglichkeiten etwa gleich wahrscheinlich sein. Das erreiche ich, indem ich 1. drei möglichst gleich große Stapel einteile, von denen ich zwei wiege und 2. indem ich links und rechts etwa gleichviele Kugeln drauflege, die leichter oder schwerer sein können.
Es gibt dann 3^N Ergebniskombinationen. Bei N=5 Wägungen sind das 243 Möglichkeiten. Bei 120 Kugeln und 2 Abweichmöglichkeiten ( leichter oder schwerer ) ergeben sich nur 240 Möglichkeiten. Es sollte also mit 5 Wägungen herauszukriegen sein.
Lösung:
Ich versehe alle Kugeln mit einem Status U=unbekannt, L=evtl. leichter, S=evtl. schwerer und G=gleichschwer
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Bei der 1. Wägung nehme ich 3 Stapel a 40. Entweder erhalte ich 40 Kugeln mit Status U und 80 mit G, oder je 40 mit G, L und S.
Die Möglichkeit des Gleichgewichtes in der 1. Messung betrachte ich separat als Sonderfall.
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Ich habe jetzt 40 L und 40 S Kugeln. Ich bilde 3 Stapel 2 X 27 und 1 X 26. Die 27-er Stapel mische ich aus je 13 s und 14 L Kugeln. Ich wiege die beiden 27-er Stapel. Bei Gleichgewicht fallen die 54 Kugeln auf den Waagschalen in den G-Status und damit weg. Ich nehme mir noch eine G Kugel als Joker, um den 26-er Stapel auf 27 aufzufüllen.
Ansonsten fallen die L Kugeln auf der unteren, sowie die S Kugeln auf der oberen Waagschale in den G-Status, also auch weg. Das Gleiche gilt dann auch für die nichtgewogenen Kugeln
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Ich habe jetzt 13 L und 14 S Kugeln ( oder umgekehrt ). Ich bilde 3 Stapel 3 X 9. Die 9-er Stapel mische ich aus je 5 s und 4 L Kugeln ( oder umgekehrt ). Ich wiege 2 9-er Stapel. Bei Gleichgewicht fallen die 18 Kugeln auf den Waagschalen weg.
Ansonsten fallen die L Kugeln auf der unteren, die S Kugeln auf der oberen Waagschale, sowie die nichtgewogenen Kugeln weg
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Ich habe jetzt 5 L und 4 S Kugeln ( oder umgekehrt ). Ich bilde 3 Stapel 3 X 3. Die 3-er Stapel mische ich aus je 1 s und 2 L Kugeln ( oder umgekehrt ). Ich wiege 2 3-er Stapel. Bei Gleichgewicht fallen die 6 Kugeln auf den Waagschalen weg.
Ansonsten fallen die L Kugeln auf der unteren, die S Kugeln auf der oberen Waagschale, sowie die nichtgewogenen Kugeln weg
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Ich habe jetzt 2 L und eine S Kugel ( oder umgekehrt ). Ich wiege 2 Kugeln mit gleichem Status.
Bei Gleichgewicht fallen die 2 Kugeln auf den Waagschalen weg. Übrig bleibt eine Kugel mit L- oder S-Status.
Ansonsten nehme ich entweder die S Kugel weg , die nach oben ging oder die L Kugel, die nach unten ging ( je nachdem, was drauf lag ). Übrig bleibt wieder nur eine Kugel mit L- oder S-Status.
Damit habe ich die Kugel gefunden und weiss, ob sie schwerer oder leichter ist.
Sonderfall:
wenn die Kugeln bei der 1. Messung gleichschwer sind, reduziert sich das Problem auf 40 Kugeln, also 1/3.
Ich bilde 3 Stapel a 14 Kugeln. Dazu borge ich mir noch 2 G Kugeln, die ich auf 2 Stapel verteile.
Ich wiege 2 14-er Stapel, wobei auf der Waage nur eine G Kugel liegen darf. Bei Ungleichgewicht habe ich wieder 13 L und 14 G Kugeln ( oder umgekehrt ).
Die G Kugel nehme ich wieder heraus und habe 27 Kugeln. Damit steige ich im obigen Schema bei Punkt 3 ein.
Bei Gleichgewicht bleiben max 13 Kugeln mit Status U übrig. Ich legen noch 2 G Kugeln dazu und bilde 3 5-er Stapel.
Ich wiege 2 5-er Stapel, wobei auf der Waage nur eine G Kugel liegen darf. Bei Ungleichgewicht habe ich wieder 4 L und 5 G Kugeln ( oder umgekehrt ).
Die G Kugel nehme ich wieder heraus und habe 9 Kugeln. Damit steige ich im obigen Schema bei Punkt 4 ein.
Bei Gleichgewicht bleiben max 4 Kugeln mit Status U übrig. Ich legen noch 2 G Kugeln dazu und bilde 3 2-er Stapel.
Ich wiege 2 2-er Stapel, wobei auf der Waage nur eine G Kugel liegen darf. Bei Ungleichgewicht habe ich wieder eine L und 2 G Kugeln ( oder umgekehrt ).
Die G Kugel nehme ich wieder heraus und habe 3 Kugeln. Damit steige ich im obigen Schema bei Punkt 5 ein.
Bei Gleichgewicht bleibt max 1 Kugel mit Status U übrig.
Die wiege ich dann gegen eine andere Kugel die ja alle inzwischen den Status G haben. Damit hätte ich es dann mit der 5. Wägung GESCHAFFT, ächzt.
Jörg