Hey,
ich habe versucht folgende Gleichung zu lösen, aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis:
16^(1/x) + 20^(1/x) = 25^(1/x)
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank schon mal im voraus
Nur Umformung
Hey Bish,
also die Gleichung konnte ich auch noch nicht lösen - ich habs nur mal ein wenig umgeformt, weiß nicht, ob des was bringt:
4^{\frac{1}{x}} \cdot (4^{\frac{1}{x}}+5^{\frac{1}{x}}) = 25^{\frac{1}{x}}
Aber weiter bin ich noch nicht gekommen 
Würde da gerne was substituieren, aber hat sich noch nichts angeboten.
Gruß René
Hallo
Das geht nur über logarithmieren.
x=(ln(5/4))/(ln((5^(1/2)+1)/2))
Man könnte auch schreiben
x=(ln(5/4))/(ln((sqrt5+1)/2))
Horst
Quadratische Gleichung
Hossa
Die Aufgabe gefällt mir. Horst hat ja bereits die Lösung, wie sie von wolframalpha.com berechnet wird, angegeben. Leider wird dort kein Rechenweg geliefert. Dieser ist jedoch so „schön“ und kurz, dass ich ihn noch ergänzen möchte:
16^{1/x}+20^{1/x}=25^{1/x}
Beide Seiten der Gleichung werden durch 161/x dividiert:
1+\left(\frac{20}{16}\right)^{1/x}=\left(\frac{25}{16}\right)^{1/x}
Den Bruch auf der linken Seite kann man durch 4 kürzen. Den Bruch auf der rechten Seite kann man als Quadrat schreiben:
1+\left(\frac{5}{4}\right)^{1/x}=\left[\left(\frac{5}{4}\right)^2\right]^{1/x}=\left[\left(\frac{5}{4}\right)^{1/x}\right]^2
Diese Gleichung kann man als quadratische Gleichung schreiben:
z^2-z-1=0\quad\mbox{mit}\quad z=\left(\frac{5}{4}\right)^{1/x}>0
Die Lösung ergibt sich mit der pq-Formel:
z=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}
Da z>0 ist, entfällt die Lösung mit dem Minuszeichen und es folgt:
\left(\frac{5}{4}\right)^{1/x}=z=\frac{1+\sqrt 5}{2}
Nun holt man den Exponenten 1/x mit dem Logarithmus „runter“:
\ln\left[\left(\frac{5}{4}\right)^{1/x}\right]=\ln\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)
\frac{1}{x}\ln\left(\frac{5}{4}\right)=\ln\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)
x=\frac{\ln\left(\frac{5}{4}\right)}{\ln\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)}
Viele Grüße
Hasenfuß