3 Türen, 1 Gewinn

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hi Leute,
sorry erstmal falls das Rätsel schon öfters kam, aber ich bin neu in diesem Brett. Das Rätsel hat vor einigen Jahren in den USA in einer Fernseh-Show für viel Aufsehen gesorgt. Also:

Man hat 3 verschlossene Türen zur Auswahl, hinter einer befindet sich ein Gewinn und hinter den anderen beiden jeweils ein Schaf. Nun wählt man eine Tür. Diese wird aber nicht geöffnet, sondern es wird eine der beiden anderen Türen geöffnet, und zwar eine, hinter der sich ein Schaf befindet (mindestens eine Tür mit einem Schaf muss ja logischerweise noch da sein, vielleiht sogar zwei). Nun hat man die Wahl: Entweder man bleibt bei seiner Wahl der Tür oder man wechselt zu der anderen noch verschlossenen Tür. Bei welcher Variante hat man die besseren Gewinn-Möglichkeiten und warum?

Gruß, Stephan

#2

Simon sagt: Wechseln!
Das Rätsel kam schon einmal vor. Allerdings ist es unnötig das Archiv zu durchsuchen. Über neue Rätsel freue ich mich immer.

Deine Gewinnchancen sind nicht nur besser, wenn du wechselst, sie verdoppeln sich sogar.

Erklärung: Die Chance, dass du beim ersten Raten die richtige Tür triffst beträgt 1/3. Anschliessend erhältst du die Chance zu Wechseln.
Bleibst du bei deiner Tür sind die Gewinnchancen immer noch 1/3 (NICHT 1/2, weil zwischen 3 Türen gewählt wurde)
Wechselst du dagegen die Tür sind deine Gewinnchancen 1-1/3, also 2/3. Du Gewinnst nämlich immer, wenn du im ersten Versuch eine Schaftür ausgewählt hattest.

Max (wiederholender Semiexperte)

#3

Welche Tür man beim ersten Rateversuch gewählt hat, ist für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit unwichtig. Sobald 1 „Schafs-Tür“ geöffnet wird und damit ausscheidet, bleiben nur 2 Türen übrig. Die Wahrscheinlichkeit, jetzt die richtige Tür zu wählen, ist also 50%.

viele Grüße,
Robert

#4

Hey, ist ja super. Schon bei den ersten beiden Antworten habe ich die beiden verschiedenen Lösungen erhalten, die auch damals in den USA zu scharfen Diskussionen führten. Ich persönlich würde Max voll recht geben, denn immer wenn man im ersten Versuch auf ein Schaf trifft (die Chancen hierzu stehen ja 2:1) gewinnt man wenn man wechselt. Andererseits hat auch Robert voll recht, denn am Ende hat man 2 Türen zur Auswahl, die Chancen stehen rein Wahrscheinlichkeits-Rechnungs-Mäßig 1:1. Verzwickte Sache, oder? In den USA hat sich bei den Theoretikern übrigens die 1:1-Sache durchgesetzt.
Gruß, Stephan

#5

In den USA hat sich bei den
Theoretikern übrigens die 1:1-Sache durchgesetzt.

Das spricht nicht unbedingt für die amerikanischen Theoretiker.

#6

Äähm… Darf ich? Bitte!!!
Hallo,

Leute, die’s hier schon mit mir zu tun hatten, wissen, warum ich ganz lieb bitte sage. :wink:

Also: Ich bin einer der Bekehrten. Bin überzeugt worden, daß 50:50 falsch ist, und zwar von einem Mathematiker. Aber keine Angst, es wahr ganz einfach erklärt. Sonst hätt ich’s ja auch nicht verstanden.

Hier der Link: http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…

Dürfte reichen.

Gruß
Jürgen

P.S. Gibt’s Gabriel eigentlich noch? Der wollte sich das „Ziegenproblem“-Buch kaufen. Wenn ja -> erzähl mal, was drinsteht!

#7

Hallo Jürgen,
hab mir gerade das Archiv durchgelesen. War eine ganz schön harte Arbeit Dich umzustimmen, oder? :smile:
Ich bin aber immer noch nicht sicher. Natürlich ist die 2/3 - 1/3-Lösung logisch. Trotzdem bleibt nun mal, dass man am Ende eine Wahl zwischen 2 Türenb treffen muss, und dass ist nun mal eine 1:1-Wahrscheinlichkeit. Aber ich will die ganze Diskussion nicht schon wieder anfangen, hattet Ihr ja vor 2 Monaten erst.
Gruß, Stephan

PS: Stimmt, es waren Ziegen und keine Schafe!

#8

Sind halt Theorethiker. Und wenn man allein nach der Wahrscheinlichkeits-Rechnung argumentiert ist die 50:50-Chance die logischere.
Gruß, Stephan

#9

Noch’n Versuch. Zu 50% erfolgreich *g*

Hallo Jürgen,
hab mir gerade das Archiv durchgelesen. War eine ganz schön
harte Arbeit Dich umzustimmen, oder? :smile:

Yes, indeed!!! Aber wie ich sehe: Nicht nur bei mir!

Ich bin aber immer noch nicht sicher. Natürlich ist die 2/3 -
1/3-Lösung logisch.

Yepp.

Trotzdem bleibt nun mal, dass man am Ende
eine Wahl zwischen 2 Türenb treffen muss, und dass ist nun mal
eine 1:1-Wahrscheinlichkeit. Aber ich will die ganze
Diskussion nicht schon wieder anfangen, hattet Ihr ja vor 2
Monaten erst.

Na dann versuch ich nochmal kurz, diese Diskussion schnell zu beenden.
Wenn es grundsätzlich nur um 2 Tore geht, isses logischerweise 50:50. Die vorherige Entscheidung ist aber von Bedeutung, da der Moderator im Falle einer Nietenwahl (2/3) automatisch die andere Niete wegnehmen muß, d.h. er hat keine Wahl. Dadurch wird in eben diesen 2 von 3 Fällen die 2. Entscheidung durch die 1. Entscheidung in ihrem Ausgang beeinflußt.

Alle Klarheiten beseitigt?

Gruß, Stephan

PS: Stimmt, es waren Ziegen und keine Schafe!

Oder Autos oder Reisen oder…

#10

Sind halt Theorethiker. Und wenn man allein nach der
Wahrscheinlichkeits-Rechnung argumentiert ist die 50:50-Chance
die logischere.

Das ist kaum möglich, da die 2:1-Chance auch nach der Wahrscheinlichkeitsrechung die einzig mögliche ist - vorausgesetzt man rechnet richtig :o)

#11

tach Robert,

die sache ist nur wie am anfang beschrieben dass die tuer eben nicht geoeffnet wird und dann gilt 1/3 zu 2/3.

ciao slam

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#12

Hi allerseits,

der Kandidat wählt bei der ersten Wahl NICHT die Tür aus, sondern der Moderator. Der Kandidat könnte ganau so gut „Sonnenschein“ rufen (oder ähnlich unsinniges) und der Moderator würde dann eine Tür öffnen, hinter der ein Schaf ist. JETZT ERST beginnt das Rätsel; alles vorher war Fernsehunterhaltung bzw. Spannendmacherei. Und jetzt sind die Chanchen 50:50.

Gruß
Pat

#13

Wenn ich Moderator wär
Wenn ich Moderator wär und einen Kandidaten zwischen 3 Türen wählen lassen würde und er würde "Sonnenschein " antworten ,würde (uuh viel Konjunktiv :wink: ) ich ihn des Studios verweisen !!!
Moritz Leberecht

PS: Nach dem ersten Wählen des Kandidaten stehen die Chancen dass der Preis sich hinter einer nicht gewählten Tür befindet 66% (verteilt auf zwei Türen) wenn nun der Moderator eine wegnimmt „konzentrieren“ sich diese 66% auf eine Tür d.h. wenn der Kandidat bei seiner Tür bleibt hat er die Gewinnchance 33% wenn er noch wechselt sind die Chancen 66%

PPS:Wenns in der Praxis schiefgeht ist das nicht meine Schuld alles eine Frage der Stochastik !?!

#14

Wascht mir bitte (wieder einmal) den Kopf…
Ich weiß, daß das hier schon fast zu einer Grundsatzdiskussion ausartet, aber ich habe mir mal (meiner Meinung nach alle) Möglichkeiten aufgeschrieben und komme dann zu einer 50:50 Wahrscheinlichkeit:

Tür A (Gewinn)
Tür B (Schaf)
Tür C (Schaf)


1. Wahl Moderator öffnet 2. Wahl Wechsel/gleich Gewinn
 A B A g j
 A C A g j
 A B C w n
 A C B w n
 B C B g n
 B C A w j
 C B C g n
 C B A w j

Jetzt komme ich auf je zwei Fälle für Gewinn und Schaf, egal ob ich wechsle oder bleibe. Wo liegt mein Denkfehler (an den ich ja mittlerweile glaube, weil ja die besseren Mathematiker unter Euch scheinbar mehr oder weniger geschlossen auf 2:1 setzen)?

Gruß,
TheBeast

#15

Kleine Korrektur
Ich als Mathematiker behaupte auch, dass „Wechseln“ die richtige Strategie ist. Nur will ich eine kleine Anmerkung machen und damit vielleicht auch einen Denkanstoss geben der das Problem verstaendlicher macht.

Der Vorgang:
Ich waehle rein Zufaellig meine erste Tuer. Die Chance dass ich treffe liegt bei 1/3. Die Wahrscheinlichkeit dass ich NICHT treffe liegt bei 2/3.

Ok, jetzt oeffnet der Moderator eine Niete und fordert mich zu erneuter Entscheidung auf. Manche haben argumentiert, dass die Wahrscheinlichkeit jetzt 1:1 betraegt. Dies ist jedoch aus dem folgendem Grund FALSCH:
Strenggenommen geht es jetzt nicht mehr um Wahrscheinlichkeit, denn entweder lag ich mit meiner ersten Entscheidung richtig oder falsch. Lag ich richtig, werde ich beim Wechsel mit 100% Wahrscheinlichkeit verlieren. Lag ich falsch werde ich mit 100% Wahrscheinlichkeit gewinnen. Die einzige Wahrscheinlichkeit die hier eine Rolle spielt ist die, mit der ersten Entscheidung richtig zu liegen.

Da ich aber bei der ersten Entscheidung mit 2/3 Wahrscheinlichkeit falsch lag, ist die Entscheidung nachher zu wechseln in 2/3 der Faelle erfolgreich. Die Wahrscheinlichkeit der ersten Entscheidung uebertraegt sich sozusagen auf die zweite deterministische Fase. Verstanden?

Um das ganze aufs extrem zu treiben:
Man stelle sich vor bei der ersten Wahl vor 100 Tueren zu stehen.
Nach der Wahl oeffnet der Moderator 98 Nieten. Es bleiben nur noch 2 Tueren geschlossen. Wechselt man, dann gewinnt man mit 99%(denn so gross war die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Wahl falsch zu liegen). Wechselt man nicht, wird man mit 99% Wahrscheinlichkeit verlieren. Man gewinnt dann nur wenn man zufaellig aus 100 Tueren die einzig richtige getroffen hatte.

Gruss Abe…

#16

Entschuldigung, aber…
weisst du eigentlich, was du da ausgerechnet hast? Du hast die Gewinnwahrscheinlichkeit ausgerechnet, aber nicht den Erfolg beim Wechseln.
Dein Denkfehler liegt darin, dass du die Erstwahl von TürA doppelt gezählt hast. Jeder Weg von B und C müsste doppelt gewertet werden, da jede Erstwahl gleich wahrscheinlich ist.
Wenn du das machst, kommst du auf 4 Gewinnen beim Wechseln und 2 Gewinne beim Behalten der Tür.

Max (erklärender Semiexperte)

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#17

Dem gibt es nichts mehr hinzuzufügen
OT

#18

Die erste Tür gehört DOCH zum Rätsel
Hallo interpat!
Solange vor dem öffnen der ersten Tür eine Tür bestimmt wird, die ungeöffnet bleibt (egal wer sie auswählt) sind die Voraussetzungen gleich.
Es sei denn, Kandidat oder Moderator sind übersinnlich veranlagt.

Max (nihilistischer Semiexperte)

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#19

Fehler gefunden
Das ist der Denkfehler der häufig gemacht wird. Am Ende hat man KEINE AUSWAHL, da die Entscheidung schon bei der ersten Tür getroffen wurde.

Max (stöbernder Semiexperte)

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#20

Zusammenfassend gesagt…
So, nu will ich auch mal meinen Senf dazu abgeben :smile:

Meiner Meinung nach haben beide Seiten recht, es kommt nur darauf an, wie man sieht.

Sieht man es so, daß der Kandidat bei seiner zweiten Entscheidung wechseln muß, dann stimmt die 1/3 - 2/3 Theorie.

Sieht man es aber so, daß die erste Entscheidung gewissermaßen sinnlos ist, und der Kandidat bei der zweiten Wahl „von vorne anfängt“, stimmt die 50:50 Lösung. Denn: Vor wieviel Türen das Opfer am Anfang stand ist dann irrelevant, bei der zweiten Entscheidung muß er sich zwischen der einen und der anderen Tür entscheiden. Und das ist dann logischerweise 'ne Chance von 1 zu 1.

Es käme also auf die Antwort des Kandidaten an. Sagt er, er möchte wechseln, hatte er die Drittel-Chancen, sagt er, er wolle jetzt genau dieses Tor (*Finger-drauf-zeig*), dann hatte er eine 1:1 Chance. (Sagt er natürlich „Sonnenschein“ hat er gänzlich verloren… :wink:)

Gruß,
-Dav
*der-das-so-und-nicht-anders-sieht*