Moinsen
Wie gesagt such ich die Ableitung von x^(1/x), oder besser gesagt die Erklärung dazu, wieso hier so abgeleitet wird.
Sehr geehrter Herr Möller,
ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig verstanden habe. Sie ist - verzeihen Sie diese Deutlichkeit - in sehr schlechtem Deutsch formuliert und ergibt keinen Sinn.
Wenn Sie die Ableitung von x^(1/x) suchen, dann hilft Ihnen das hier weiter:
Es gilt:
x^(1/x) = exp(ln(x^(1/x)))
= exp((1/x)*ln(x))
Das sollten Sie mit Hilfe der Kettenregel und der Produktregel selbst ableiten können.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
das ist mit der KETTENREGEL zu machen
f(x) = u ( v (x))
abgelitten u’(v(x)) mal v’(x)
hier ist u(x) = x hoch… (also potenzen)
und v(x) = 1/x
u’(x) ist dann (1/x) * x ^ (1/x - 1)
an der stelle v(x) also dann x * x^(x-1) = x^x
und v’(x) ist ln(x)
also ergibt sich
f’(x)=x^x * ln(x)
hmm mein CAS sagt was anderes…
hab jetzt aber keine zeit drüber nachzudenken
es geht auf jeden fall mit der kettenregel…
Moinsen
Wie gesagt such ich die Ableitung von x^(1/x), oder besser
gesagt die Erklärung dazu, wieso hier so abgeleitet wird.
(x^1/x)’ = exp(ln(x^1/x))’ = exp(1/x*ln x)’ = (1/x*ln x)’ * exp(1/x*ln x) = [-1/x^2*ln(x) + 1/x^2] * x^(1/x)
Anwendung von Kettenregel um die Exp-Funktion abzuleiten und Produktregel für die innere Ableitung.
Gruß Zorki
Moinsen
Wie gesagt such ich die Ableitung von x^(1/x), oder besser
gesagt die Erklärung dazu, wieso hier so abgeleitet wird.
Hallo,
durch schnelles googlen kommt man auf folgenden link:
/t/ableitung-von-x-1-x/3975223
Viel Erfolg
Moinsen
Wie gesagt such ich die Ableitung von x^(1/x), oder besser
gesagt die Erklärung dazu, wieso hier so abgeleitet wird.
Hallo derMoeller,
nachdem ich für eine allgemeine Potenz keine Ableitungsformel kenne, schreibe ich solche Ausdrücke immer auf natürliche Exponentialfunktionen um. Dann kann man einfach die Kettenregel für ineinandergeschachtelte Funktionen verwenden:
f(x) = x^(1/x) = exp( log(x)/x ) =: exp( g(x) )
=> f’(x) = exp( g(x) ) * g’(x)
Für die Ableitung der inneren Funktion g(x) benutze ich die Quotientenregel:
d/dx Z(x)/N(x) = [Z’(x)*N(x) - Z(x)*N’(x)] / N(x)^2
=> g’(x) = ( [1/x]*x - log(x)*1 ) / x^2
Somit ergibt sich insgesamt:
f’(x) = x^(1/x - 2) * ( 1 - log(x))
Schöne Grüße,
Manfred
Da ein x im Exponenten steht, darfst Du nicht einfach so ableiten (-1 im Exponenten). Deshalb musst Du die Funktion umschreiben, so dass es möglich ist.
f(x) = x^1/x = exp(ln(x^1/x)) - Die Umkehrfunktionen heben sich auf, so dass f nicht geändert wird.
= exp(1/x*ln(x)) - Logarithmengesetze
f’(x) = exp(1/x*ln(x))*(-1/x^2*ln(x)+1/x*1/x) - Ableitung der Exponentialfunktion, Kettenregel und Produktregel