Hallo Experten,
die Funktion „x^(hoch)1/x“ interessiert mich: kürzlich fand ich heraus (und vor mir sicher schon viele andere), dass diese Funktion
an der Stelle x=e ein Maximum (y=1,44467) aufweist. Ich wüsste nur zu
gerne, wie man die Ableitung dieser Funktion bestimmt und wie die Ableitung lautet, um dort die Steigung 0 für x=e nachweisen zu können. Wer kann mir helfen? Vielen Dank schon mal.
Gruß
Thomas
Moin,
es ist y = x1/x
Auf beiden Seiten ln, das ergibt
ln y = ln x1/x = 1/x * ln x
Jetzt wieder „exp“ auf beiden Seiten, das ergibt
y = e 1/x * ln x
Kannst Du es jetzt ableiten (Kettenregel, Produktregel)? Wenn nicht, frage nochmal.
Olaf
Hallo Olaf,
danke erstmal, aber da bin ich lieber so ehrlich und frage nochmal.
Wie leite ich jetzt weiter ab?
Gruß
Thomas
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
y = e 1/x * ln x
Kannst Du es jetzt ableiten (Kettenregel, Produktregel)? Wenn
nicht, frage nochmal.danke erstmal, aber da bin ich lieber so ehrlich und frage
nochmal.
Wie leite ich jetzt weiter ab?
Die Kettenregel lautet:
(f(g(x))’ = f’(g(x)) * g’(x)
(naja fast, wenn man annimmt dass im ersten Ausdruck das ’ die Ableitung nach x ist, nicht nach dem Argument).
e^irgendwas abgeleitet gibt also
e^irgendwas * irgendwas’
also e^((ln x)/x) = ((ln x)/x)’ * e^((ln x)/x))
und für ((ln x)/x)’ braucht man die Prodktregel:
(f*g)’ = f’g + f(g’)
also
((ln x)/x)’ = 1/x * 1/x + (ln x) * (-1/x²)
Also insgesamt 1/x² ((ln x) - 1) * e^((ln x)/x)
Wobei du die e-Funktion auch wieder als x^(1/x) schreiben kannst.
Grüße,
Moritz