Algebraische Form komplexer Zahlen

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe im Rahmen meines Studiums Hausaufgaben zum Thema komplexe Zahlen auf. Nun studiere ich nicht wirklich eine Natur-, sondern eine Sozialwissenschaft und mein Abi ist nun über 3 Jahre her. Kann mir hier vielleicht jemand helfen? Sagen, wo meine Fehler liegen? Ich komme einfach nicht weiter.
Folgende Aufgabe:

Gegeben sei die komplexe Zahl (2 * 3^(1/2) + j * (2 + 3^(1/2) -1) / (2j - 1) + 2e^(j * ((5* PI)/3)

Nach einer Umrechnung der komplexen Zahl (der hintere Teil) komme ich auf (2 * 3^(1/2) + j * (2 + 3^(1/2) -1) / (2j - 1) + 2(cos (2*PI)/3 + j sin (2*Pi)/3)

Jetzt noch ein bisschen rumkürzen, dann müsste ich theoretisch auf (3 * 3^(1/2) + 2*j - 1 - 2 * 3^(1/2) * j^(1/2)) / (2*j - 1) kommen.

Hier liegt jetzt mein Problem. Wie komme ich von der Form in die „normale“ Form komplexer Zahlen, á la z = x + j * y ? Hab ich vorher schon irgendwo nen Fehler gemacht? (z.B. beim Umformen?)

Wär super, wenn ihr mir helfen könntet.

P.S.: Soll keine Hausaufgaben-Erledigung sein, sondern Hilfestellung. Ist das Okay in diesem Board? Wenn nicht, dann löschen und ich versuch irgenwo anders Hilfe zu finden.

#2

Hallo,

Jetzt noch ein bisschen rumkürzen, dann müsste ich theoretisch
auf (3 * 3^(1/2) + 2*j - 1 - 2 * 3^(1/2) * j^(1/2)) / (2*j - 1) kommen.

Hier liegt jetzt mein Problem. Wie komme ich von der Form in
die „normale“ Form komplexer Zahlen, á la z = x + j * y ? Hab

einen komplexen Ausdruck „irgendwas/(a + b i)“ bringt man in die kartesische Form x + i y durch Erweitern mit dem Konjugiertkomplexen des Nenners d. h. mit a – b i. Das macht den Nenner reell, denn er wird zu a² + b².

Ich hab den Ausgangsterm in Maxima eingegeben und bin nach dem Einfügen zweier fehlender Klammern :wink: sowie zweimal „ratsimp“ und „rectform“ bei diesem Term angekommen:

\frac{7}{5} - \frac{10 \sqrt{3} + 1}{5}:i

Gelingt es Dir, das zu reproduzieren? Wenn ja, dürfte die Aufgabe richtig gelöst sein, wenn nicht, frag nochmal nach.

Gruß
Martin

PS: Bitte um Hilfe bei konkreten Schwierigkeiten mit Hausaufgaben ist OK, sofern eigene Lösungsansätze erkennbar sind.

#3

Alles klar! Hab das wunderbar einfache bei komplexen Zahlen außer Acht gelassen: i^2 = -1
Jetzt komme ich auf einen wunderschönen Term, der mit deinem sehr große Ähnlichkeiten aufweist:

1 - 3^(1/2) - 2 * 3^(1/2) * j

Ist nicht derselbe, oder?

Und btw: Wie kriege ich die Terme in so eine grafisch wunderschöne Form wie du?

Liebe Grüße

Raphael

#4

Alles klar! Hab das wunderbar einfache bei komplexen Zahlen
außer Acht gelassen: i^2 = -1

Wie konnte das denn passieren? :wink:

Einfach rechnen und dabei keine Fehler machen:

\frac{2\sqrt{3} + i (2 + \sqrt{3} - 1)}{2i - 1} + 2 e^{i 5\pi/3}

= \frac{2\sqrt{3} + i (1 + \sqrt{3})}{2i - 1} + 1 - \sqrt{3}

Erweitern des Bruchs mit dem Nenner-Konjugiertkomplexen –2 i – 1 und Ausmultiplizieren des Zählers liefert

= \frac{2 - (1 + 5\sqrt{3})i}{5} + 1 - \sqrt{3}

= \frac{7}{5} - \frac{10\sqrt{3} + 1}{5}:i

Alle fehlenden Zwischenschritte fehlen absichtlich – Du sollst ja auch noch was tun.

1 - 3^(1/2) - 2 * 3^(1/2) * j

Ist nicht derselbe, oder?

Nein, natürlich nicht.

Wie das mit den smarten Formeln geht steht in der Hilfe/den FAQs:
http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic?entries…

Und ein Artikel von mir dazu:
/t/suche-hilfe-bei-der-loesung-eines-doppelbruchs/54…

Gruß und ein schönes WE
Martin