Moin,
bei der Funktion f(x) = (x^2 + 1)
x - 1) ergibt sich bei
Polynomdivision als Asymptote x + 1 [+ 2:frowning:x - 1)], wenn ich
richtig gerechnet habe.
Der Term in eckigen Klammern geht gegen Null für x -> ± oo.
Also gilt: y = x + 1.
Zeichnerisch stimmt es.
Nun kam die Frage, da wir nicht in der Nähe der Polstelle sind
(große x) können wir doch durch x kürzen, leider rutschte mir
ein „ja“ raus.
Diese Methode liefert aber als A. y = x, also ein falsches
Ergebnis.
Hallo Volker,
was meinst du mit „diese Methode lieferte…“ ?
Wenn ich mit x kürze (was für x->∞ durchaus erlaubt ist), dann erhalte ich
y=\frac{x+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}
Das strebt aber nicht gegen x. Ich weiß, dass es so aussieht, weil die 1/x-Terme ja gegen 0 streben, man darf sich da aber nicht täuschen lassen. Das Entscheidende worauf du achten musst, sind die Grenzwerte von Zähler und Nenner, du wendest hier nämlich einen Grenzwertsatz an obwohl du es nicht dürftest.
Wenn f und g zwei Funktionen sind, dann gilt
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}g(x)}
UNTER DER BEDINGUNG , dass weder
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty
noch
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty
noch
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}g(x)=0
Hier stehts auch noch mal: http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%2…
Also wann immer der Grenzwert von Zähler oder Nenner ∞ ist, darfst du daraus nicht einfach schließen, dass der Grenzwert des Quotienten gleich dem Quotienten der Grenzwerte ist, das kann praktisch nur schief gehen.
Grüße
hendrik
