Denkfehler
Hallo Volker.
f(x) = (x - 4/x)
1 - 1/x)
dieser Term geht aber für x -> oo gegen: f(x) = x.
Wo ist mein Denkfehler? Ich sehe ihn nicht.
Nachdem andere schon viel Richtiges geschrieben haben, moechte ich nur noch auf den gesuchten „Denkfehler“ hinweisen. Er ist genau betrachtet kein Denkfehler sondern ein Rechenfehler.
Wenn x sehr gross wird, dann wird 1/x sehr klein. Damit wird der Nenner sehr Nahe bei Eins liegen. Du darfst aber den Nenner nicht einfach gleich Eins setzen, weil die kleine Differenz nach Multiplikation mit dem sehr grossen Zaehler doch wieder etwas endliches ergibt.
Konkret kannst Du die folgende Reihenentwicklung benutzen. Fuer eine Zahl ε (epsilon) sehr nahe bei Null (|ε|
\frac{1}{1-\varepsilon} = 1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \varepsilon^k
Offenbar werden die einzelnen Terme betraglich immer kleiner (naeher bei Null).
Darum betrachten wir nur den Beginn
\frac{1}{1-\varepsilon} = 1+\varepsilon+\varepsilon^2+\cdots
und setzen fuer ε Deine kleine Zahl 1/x ein. Dann ergibt sich
\frac{x+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}
= \left(x+\frac{4}{x}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots\right)
= x+1+x\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}\cdot1+\cdots
= x+1+\frac{5}{x}+\cdots
wobei die Punkte Terme mit 1/x^2 und noch Kleineres zusammenfassen. Laeuft nun x gegen Unendlich, so verschwindet alles ab dem 5/x und Du erhaeltst die korrekte Asymptote.
Die vorgestellte Entwicklung mit der Summe bis Unendlich laeuft in der Mathematik unter dem Namen „Taylorreihe“. Die zugehoerige Taylorformel verraet Dir, wie man zu einer vorgegebenen Funktion die entsprechende Reihe bekommen kann. Fuer fast alle praktisch benoetigten Faelle (dieser hier und Wurzel(1+x) und sin(x) und ln(1+x) und exp(x) und aehnliche Grundfunktionen) finden sich die zugehoerigen Reihen in groesseren Formelsammlungen wie z. B. denen von Bronstein oder Gradsteyn oder Abramowitz.
Liebe Gruesse,
The Nameless
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MOD: Kleines Beautifing mit Einverständnis des Artikelautors vorgenommen.