Moin,
geg.: f(x) = (x^2 - 4): ( x - 1)
ges.: Asymptote
die Lösung ist: y = x + 1.
Mit einer Polynomdivision komme ich auf:
f(x) = x + 1 - 3:frowning:x-1),
ok., das passt wenn x -> oo entfällt das letzte Glied.
Andere Variante, für große x bin ich weit ab von „gefährlichen“ Stellen, also kann ich durch x kürzen:
f(x) = (x - 4/x)
1 - 1/x)
dieser Term geht aber für x -> oo gegen: f(x) = x.
Wo ist mein Denkfehler? Ich sehe ihn nicht.
Danke für eure Hilfe.
Gruß Volker und ein schönes WE
Hi volker,
du hast dich schlicht verrechnet.
f(x)/x ist nicht
f(x) = (x - 4/x)
sondern 1+1/x-3/(x*(x-1)).
Grüße,
JPL
du hast dich schlicht verrechnet.
f(x)/x ist nichtf(x) = (x - 4/x)
sondern 1+1/x-3/(x*(x-1)).
Grüße,
JPL
Hallo JPL,
Volker wollte ja gar nicht durch x dividieren sondern mit x kürzen, und dabei hat er sich nicht verrechnet.
@Volker:
Es ist ein weit verbreiteter Irrglaube, dass man durch Kürzen mit der höchsten Zähler- oder Nennerpotenz die Asymptoten finden kann. Dein Beispiel wiederlegt es ja auch. Es gibt zwar auch Fälle in denen diese Methode gut geht, insbesondere wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind, du solltest dir aber angewöhnen Polynomdivision zu machen wann immer sie möglich ist, d.h. wenn der Zählergrad größer gleich dem Nennergrad ist. Damit bist du auf jeden Fall auf der sicheren Seite.
Gruß
hendrik
Danke an euch, gerne noch weitere Hinweise
Moin,
ganz herzlichen Dank für eure schnellen Rückmeldungen.
Meine Berührung mit solchen Fragen liegt >20 Jahre zurück.
Hm., dass n>m oder … ein Kriterium ist für die Wahl des Lösungsweges war mir mir nicht (mehr?) bekannt.
Na, da muss ich wohl noch mal in die Bücher eintauchen.
Ich wünsche euch ein schönes WE.
Gruß Volker
Moin,
ganz herzlichen Dank für eure schnellen Rückmeldungen.
Meine Berührung mit solchen Fragen liegt >20 Jahre zurück.
Dann kommt hier eine kleine Auffrischung.
Wenn bei gebrochenrationalen Funktionen der Nennergrad größer als der Zählergrad ist, dann ist die x-Achse (y=0) sowohl für x->∞ als auch für x->-∞ waagerechte Asymptote.
Ansonsten kann man Polynomdivision machen. Diese spaltet die Funktion auf in einen ganzrationalen und einen gebrochenrationalen Anteil. Dabei hat der gebrochenrationale Anteil stets die Eigenschaft, dass der Nennergrad größer als der Zählergrad ist, d.h. der gebrochenrationale Anteil strebt für |x|->∞ gegen 0, und das wiederum bedeutet, dass der ganzrationale Anteil die Asymptote ist. Wenn der Zähler- und der Nennergrad der ursprünglichen Funktion gleich sind, dann ist diese Asymptote waagerecht und entspricht dem Quotienten der Leittermkoeffiezienten von Zähler und Nenner. (Das sind die Koeffizienten der Terme mit den höchsten Exponenten.)
Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, dann entsteht eine schiefe Asymptote, deren Grad die Differenz der Grade von Zähler und Nenner der ursprünglichen Funktion ist.
Grüße
hendrik
Hallo Hendrik,
super, so einen Crash-Kurs kann ich jetzt gebrauchen!
Wenn ich mich nicht bei der Polynomdivision verrechnet hätte (im ersten Versuch), wäre ich gar nicht auf diese Frage gestoßen. Also auch Fehler haben manchmal einen Sinn.
Ein Sternchen hast Du Dir natürlich verdient.
Ein schönes WE.
Gruß Volker
Also auch Fehler haben manchmal einen Sinn.
Ja da ist was dran.
Ein Sternchen hast Du Dir natürlich verdient.
Ein schönes WE.
Vielen Dank, wünsche ich dir auch !
hendrik
Denkfehler
Hallo Volker.
f(x) = (x - 4/x)
dieser Term geht aber für x -> oo gegen: f(x) = x.
Wo ist mein Denkfehler? Ich sehe ihn nicht.
Nachdem andere schon viel Richtiges geschrieben haben, moechte ich nur noch auf den gesuchten „Denkfehler“ hinweisen. Er ist genau betrachtet kein Denkfehler sondern ein Rechenfehler.
Wenn x sehr gross wird, dann wird 1/x sehr klein. Damit wird der Nenner sehr Nahe bei Eins liegen. Du darfst aber den Nenner nicht einfach gleich Eins setzen, weil die kleine Differenz nach Multiplikation mit dem sehr grossen Zaehler doch wieder etwas endliches ergibt.
Konkret kannst Du die folgende Reihenentwicklung benutzen. Fuer eine Zahl ε (epsilon) sehr nahe bei Null (|ε|
\frac{1}{1-\varepsilon} = 1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \varepsilon^k
Offenbar werden die einzelnen Terme betraglich immer kleiner (naeher bei Null).
Darum betrachten wir nur den Beginn
\frac{1}{1-\varepsilon} = 1+\varepsilon+\varepsilon^2+\cdots
und setzen fuer ε Deine kleine Zahl 1/x ein. Dann ergibt sich
\frac{x+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}
= \left(x+\frac{4}{x}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots\right)
= x+1+x\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}\cdot1+\cdots
= x+1+\frac{5}{x}+\cdots
wobei die Punkte Terme mit 1/x^2 und noch Kleineres zusammenfassen. Laeuft nun x gegen Unendlich, so verschwindet alles ab dem 5/x und Du erhaeltst die korrekte Asymptote.
Die vorgestellte Entwicklung mit der Summe bis Unendlich laeuft in der Mathematik unter dem Namen „Taylorreihe“. Die zugehoerige Taylorformel verraet Dir, wie man zu einer vorgegebenen Funktion die entsprechende Reihe bekommen kann. Fuer fast alle praktisch benoetigten Faelle (dieser hier und Wurzel(1+x) und sin(x) und ln(1+x) und exp(x) und aehnliche Grundfunktionen) finden sich die zugehoerigen Reihen in groesseren Formelsammlungen wie z. B. denen von Bronstein oder Gradsteyn oder Abramowitz.
Liebe Gruesse,
The Nameless
–––––––––
MOD: Kleines Beautifing mit Einverständnis des Artikelautors vorgenommen.