Bewegungsgleichung

[Rainer_Endrich_14b67b]

Sers

In einer Übrungsaufgabe liegt ein Seil auf einem Tisch, wobei ein Stück herüberhängt, so dass das Seil über die Kante abrutscht. Die Reibung wird vernachlässigt. Jetzt hab ich mir gedacht: Nur eine Kraft wirkt, einfach integrieren und schon hab ich meine Bewegungsgleichung. Die Zusatzaufgaben mit Randbedingung und so stellen dann kein Problem dar.
Problem: Ein Kommillitone hat es über den Ansatz x~exp(ct) gemacht, c ausgerechnet und kommt damit auf eine andere Bewegungsgleichung mit cosh.
Wie kann das sein, dass da unterschiedliche Lösungen herauskommen?

Mfg
Rainer

[Kurt]

Hallo Rainer!

Wie kann das sein, dass da unterschiedliche Lösungen
herauskommen?

Das liegt daran, dass sich einer (hier: Du) verrechnet hat.

Ich vermute, du bist in folgende „Touristenfalle“ getappt:

Du kennst F als Funktion von x, rechnest mit a=F/m die Beschleunigung aus, kennst also a auch als Fkt. von x.
Um v(t) und x(t) zu bekommen müsstest du über die Zeit t integrieren. Das kannst du aber nicht, weil x(t) nicht bekannt ist.

Also: Du hast da eine echte Differentialgleichung mit x(t) und a(t) als 2. Abl. von x(t). Der Ansatz mit A*exp(c*t) bzw. B*exp(-c*t) ist ganz vernünftig (einsetzen, nachrechnen, c bestimmen!). A und B ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.

Gruß Kurt

[Rainer_Endrich_14b67b]

Das kannst du aber nicht, weil x(t) nicht bekannt
ist.

Wieso geht das dann nicht?

Mfg
Rainer

[Martin]

Das kannst du aber nicht, weil x(t) nicht bekannt ist.

Wieso geht das dann nicht?

Kannst Du die Funktion

f(x) = 1 / (x √(x⁵ – 9))

integrieren? Ja *!

Gut, und wie stehts mit der Funktion

f(x) = 1 / (u(x) √(x⁵ – 9))

worin das „u(x)“ irgendeine Funktion von x bezeichnet? Kannst Du dieses f(x) auch integrieren? Nein, nicht solange Du u(x) nicht kennst.

Gruß
Martin
________________

*) Im Bronstein gucken oder CAS benutzen. Ergebnis ist:

∫ 1 / (x √(x⁵ – 9)) dx = 2/15 arccos(3/√x⁵) + C

[Rainer_Endrich_14b67b]

Das is aber was anderes. In meinem Beispiel habe ich konkret dastehen:

d^2x/dt^2=x/l*g

wieso kann ich jetzt nicht einfach integrieren, immerhin sind Stammfkt eindeutig bis auf eine additive Konstante?

[Kurt]

Hallo Rainer,

x ist eben keine Konstante (sonst wäre das Int. (x/l)*g * t ),
x ist auch nicht die Integrationsvariable (dann wäre das Integral x^2/(2*l) * g)

sondern x ist eine unbekannte Funktion der Zeit, x = x(t).
Etwas ausfühlicher steht da eben :
d^2x/dt^2 = x(t)/l*g

Int x(t) dt kann man eben nur ausrechnen, wenn man x(t) kennt!
Gruß Kurt

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Rainer_Endrich_14b67b]

x ist eben keine Konstante (sonst wäre das Int. (x/l)*g * t
),

Das is es, oh man, das is mir aber jetzt echt peinlich. Sry für die Störung.

Vielen Dank

[Martin]

x ist eben keine Konstante (sonst wäre das Int. (x/l)*g * t

Wobei man aber auch nicht verschweigen sollte, dass man das Ding eben doch integrieren kann, wenn man weiß, wie.

Die Bewegungsgleichung des Ketten-Problems hast Du schon angegeben; sie lautet

d^2 x/dt^2 = x/l*g

oder etwas anders notiert (Punkt über Buchstabe = zeitliche Ableitung d/dt, Doppelpunkt = zweite zeitliche Ableitung d²/dt²):

 g 
ẍ = -- x
 l

Darin ist der Bruch g/l eine Konstante. Da es rechentechnisch vorteilhaft ist, vor dem x ein Quadrat stehen zu haben, definieren wir g/l =: q² und schreiben

ẍ = q² x

Soweit so gut. Jetzt wird es clever. Wir stellen das ẍ dar als d/dt ẋ …

d
-- ẋ = q² x
dt 

… und betrachten das ẋ als Funktion von x, die wir mit p bezeichnen: ẋ =: p(x) []. Damit geht die Bewegungsgleichung über in

d
-- p(x) = q² x
dt 

Wenden wir auf die linke Seite die Kettenregel an, bekommen wir

dp dx
-- -- = q² x
dx dt 

Coolerweise ist nun das dx/dt darin gerade wieder gleich p(x) – siehe []! Also haben wir

 dp 
p -- = q² x
 dx 

Das allerdings ist ein Grund zur Freude, denn wie wir sehen, haben wir aus unserer ursprünglichen Differentialgleichung (DG) zweiter Ordnung in t eine DG von nur noch erster Ordnung in x gewonnen!

Diese DG versuchen wir durch Integration mit Separation der Variablen zu knacken.

p dp = q² x dx

Jetzt sind die Variablen p und x getrennt und damit beide Seiten integrationsfertig:

1/2 p² + C* = q² 1/2 x²

mit C* als Integrationskonstante.

p² = q² x² – 2 C*

p² = q² x² – q² (2 C*/q²)

Da der eingeklammerte Ausdruck ein konstantes Vielfaches von C* ist, bleibt alles weiterhin richtig, wenn wir ihn mit C abkürzen („neue“ Integrationskonstante):

p² = q² x² – q² C

p² = q² (x² – C)

p(x) = q √(x² – C)

Das wäre geschafft. So also sieht die Funktion p(x) aus!

Ersetzen wir nun das p(x) auf der linke Seite gemäß [] durch ẋ, steht da:

ẋ = q √(x² – C)

Das ist wiederum eine DG erster Ordnung, diesmal in t. Um sie zu lösen, versuchen wir erneut die Variablen (jetzt x und t) zu trennen und dann zu integrieren:

dx/dt = q √(x² – C)

1/√(x² – C) dx = q dt

Die Variablen sind jetzt getrennt und wir können integrieren (Stammfunktion zu 1/√(x² – C) steht im Bronstein):

arcosh(x/√C) + D = q t

mit D als zweiter Integrationskonstanten.

x(t) = √C cosh(q t – D)

Dies ist die korrekte Lösung der Bewegungsgleichung ẍ = q² x.

Jetzt müssen wir uns nur noch um die beiden Konstanten C und D kümmern, die sich aus den Anfangsbedingungen x(0) = x₀, v(0) = 0 des Ketten-Rutsch-Vorgangs ergeben.

ẋ(t) = √C q sinh(q t – D)

Aus v(0) = 0 laut Aufgabenstellung (Kette „startet“ aus der Ruhe) folgt D = 0.

x(t) = √C cosh(q t)

ẋ(t) = √C q sinh(q t)

Aus x(0) = x₀ ergibt sich schließlich x₀ = √C und damit sind wir fertig. Die Weg-/Geschwindigkeit-/Beschleunigung-von-Zeit-Funktionen lauten:

x(t) = x₀ cosh(q t)

ẋ(t) = x₀ q sinh(q t)

ẍ(t) = x₀ q² cosh(q t)

mit q = √(g/l)

Den obigen Trick zur Lösung der Bewegungsgleichung ẍ = q² x kann man übrigens immer dann anwenden, wenn in der Bewegungsgleichung die Variable t nicht explizit vorkommt. Dann kann man stets über diesen „Reduktion der Ordnung“-Ansatz eine DG mit um 1 niedrigerer Ordnung für „p“ gewinnen (ob diese DG dann auch lösbar ist, steht natürlich auf einem anderen Blatt).

Gruß
Martin